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Informatik » Angewandte Informatik » Zusammenhänge zwischen Messdaten
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Universität/Hochschule J Zusammenhänge zwischen Messdaten
Atlas
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.05.2018
Mitteilungen: 48
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-21


Hallo zusammen,

Ich stehe im Moment sehr auf dem Schlauch.
Mein Aufgabe sieht wie folgt aus:

Gegeben seien zwei Messdatenreihen X,Y.
Bestimmt werden soll nun, welcher Zusammenhang die Messwerte "am besten" beschreibt (Linear, quadratisch, periodisch usw).

Natürlich weiß ich, wie ich verschiedene Messwerte angehen kann (Normalgleichung, die Methode der kleinsten Quadrate, etc), nur fällt mir nichts dazu ein, wie genau ich die richtige Zuordnung erkennen soll.

Ich hoffe ich konnte mein Problem ausreichend erklären.

Gruß Atlas



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5872
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-21


Ein naheliegender Ansatz wäre, für eine Reihe von Modellfunktionen (linear, quadratisch, kubisch, exponentiell, polynomiell, logistisch, umgekehrt proportional, periodisch, stückweise linear, ...) jeweils das beste Fitting zu bestimmen und die Summe der dazugehörigen Fehlerquadrate (oder ein anderes Fehlermaß) zu berechnen.

Bei der Frage "Welche Modellfunktion ist die beste?" sollte man aber auch auf die Zahl der freien Parameter einer Funktion schauen.
Je mehr freie Parameter es gibt, desto besser gelingt in der Regel die Anpassung an die Messwerte. Eine Modellfunktion mit vielen Parametern, die nur unwesentlich kleinere Fehler ergibt, ist nicht wirklich "besser" als eine Modellfunktion mit wenigen Parametern, die eine ähnliche Güte erreicht.
Ein Ansatz wäre die jeweils beste Modellfunktion mit einem, mit zwei, mit drei, ... Parametern zu ermitteln.



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Atlas
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 28.05.2018
Mitteilungen: 48
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-22


Hallo Kitaktus,


Das was du sagst hilft mir schon sehr.

Also verstehe ich es richtig, dass ich jeden Datensatz auf jede meine Ankerfunktionen fitten muss?
In deinem Beispiel wären es ja dann 10 verschiedene Ausgleichsrechnungen, gibt es da noch Tricks wie man Rechenaufwand spart?

Gruß Atlas



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Caban
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 397
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-22


Hallo

Am besten wäre es, wenn man erst den physikalischen oder andersweitigen Hintergrund analysiert und sich erst dann eine Fitfunktion überlegt.

Gruß Caban



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5872
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-22


Bislang ist (mir) noch unklar, ob das eine Programmierübung ist, Teil einer messtechnischen Übungsaufgabe, oder ob das irgendwann mal für reale Probleme benutzt werden soll.


2019-05-22 00:46 - Caban in Beitrag No. 3 schreibt:
Am besten wäre es, wenn man erst den physikalischen oder andersweitigen Hintergrund analysiert und sich erst dann eine Fitfunktion überlegt.
Natürlich. Ich hatte den Themenstart als "Softwareanforderung" interpretiert. Die Software kann nicht entscheiden, welcher Zusammenhang physikalisch unsinnig ist, sie kann nur verschiedene Modellfunktionen durchrechnen.

Zur Umsetzung:
Alle Funktionen der Art $f(x)=a_1\cdot f_1(x)+ a_2\cdot f_2(x)+ ... + a_n\cdot f_n(x)$ mit freien Parametern $a_1,\dots,a_n$ lassen sich auf die gleiche Weise bearbeiten. Der Ansatz führt auf ein Gleichungssystem der Form $y=B(x)\cdot a$, wobei $B(x)$ eine Matrix ist, deren Einträge nur von $x$ abhängen, also bekannt sind, während $a$ der Vektor der zu bestimmenden Parameter $a_1,\dots,a_n$ ist. Die Gleichung ist in der Regel nicht exakt lösbar, man sucht stattdessen eine Lösung, die $||B(x)\cdot a-y||_2$ minimiert. Das geht mit Mitteln der linearen Algebra sehr gut (siehe Pseudoinverse). Viele Programmpakete haben dafür eine Standardfunktion.

Funktionen wie $f(x)=a_1x^{a_2}+a_3$ lassen sich damit nicht fitten, weil die Funktion nicht linear in den Parametern $a_i$ ist. Aber wenn man den oberen Teil erstmal abarbeitet, dann hat man schon eine gewisse Auswahl zusammen.




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