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Topologie » Mengentheoretische Topologie » Zusammensetzung von Wegen stetig?
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Autor
Universität/Hochschule J Zusammensetzung von Wegen stetig?
Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 497
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-21 19:25


Hallo,
ich habe da eine kurze Frage, dessen Antwort ich nirgends finden kann.
In der Topologie wird immer behauptet, dass wenn man zwei Wege \(\gamma_1 :[0,1] \to X\) und \(\gamma_2 :[1,2] \to X\) hat, dann ist auch die Zusammensetzung \(\gamma : [0,2] \to X\) stetig durch die offensichtliche Definition (kann das hier nicht schön aufschreiben :D). Es wird behauptet, dass das immer trivial sei oder sogar gar nicht drauf eingegangen wird. Deswegen würde ich gerne wissen, ob folgender Beweis richtig ist:
Wir zeigen, dass Urbilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind. Sei \(U \subset X\) abgeschlossen, dann ist \(\gamma^{-1} (U) = \gamma_1^{-1}(U) \cup \gamma_2^{-1}(U)\), wobei erster Faktor in der Vereinigung abgeschlossen ist in \([0,1]\), also auch in \(\mathbb{R}\), also auch in \([0,2]\), analog der andere Faktor. Deswegen ist die Vereinigung auch abgeschlossen.

Das war mein Beweis, stimmt der so? Und habt ihr eventuell einen schöneren Beweis? Kann man obiges auch mit Urbildern von offenen Mengen machen? Weil letzteres geht glaube ich nicht so einfach, denn offen in [0,1] impliziert nicht offen in [0,2].
Ich wäre dankbar für ausführliche Antworten  :-)

Ach ja, bei Homotopien gibt es das gleiche Problem:
\(H_1:[0,1]\times X \to Y\) stetig und \(H_2:[0,2]\times X \to Y\), dann sei \(H\) die Zusammensetzung, welche stetig sein soll. Hier habe ich den gleichen Beweis wie oben mittels Urbilder abgeschlossener Mengen und dass \([0,1]\times X\) abgeschlossen in \(\mathbb{R}\times X\) ist etc.

Hier würde der gleiche Beweis funktionieren oder?


Mit freundlichen Grüßen
Red_



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ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 2612
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-21 19:36


Hallo,

das ist eine Anwendung des Verklebungslemmas .


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 497
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21 19:52


Ich danke dir ligning :)



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