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Funktionentheorie » Holomorphie » biholomorph äquivalent
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Universität/Hochschule biholomorph äquivalent
erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-22 05:38


Guten Morgen wir haben diesen Montag den Begriff der biholomorphen Abbildung und in diesem Zusammenhang den Begriff biholomorph äquivalent eingeführt.

Die Definition bei uns lautet wie folgt:

Seien Ω1, Ω2 zwei nichtleere, offene Teilmengen von fed-Code einblenden
f : Ω1 → Ω2 heißt biholomorph, falls
sie eine holomorphe und bijektive Funktion ist, deren Umkehrabbildung ebenfalls holomorph ist. Gibt es eine
biholomorphe Abbildung f : Ω1 → Ω2, so nennen wir Ω1 und Ω2 biholomorph äquivalent.

Dazu haben wir natürlich direkt auch eine Aufgabe bekommen bei der ich nicht weiterkomme.

a) Zeigen Sie: Sind zwei Gebiete biholomorph äquivalent, so sind entweder beide einfach zusammenhängend oder beide nicht einfach zusammenhängend.

b) Zeigen Sie: fed-Code einblenden fed-Code einblenden

c) Sei f : fed-Code einblenden fed-Code einblenden
f(z) = 1/(z−1), z ∈ fed-Code einblenden
Zeigen Sie, dass
f( fed-Code einblenden

Nun denke ich, dass ich c) kann.

Die Unbeschränktheit von f klar ist, da wenn man z beliebig nah an 1 wählt f(z) beliebig groß wird.
Das f holomorph ist ist auch klar, da f holomorph auf fed-Code einblenden
Zudem bin ich mir auch sicher, dass ich bereits die Umkehrabbildung gefunden habe

f(z)=z/(z+1).

Diese ist holomorph auf fed-Code einblenden
Zuletzt bleibt zu zeigen, dass f bijektiv auf f( fed-Code einblenden

Mein Problem sind nun aber a) und b).

Zunächst weiß ich nicht wie ich a) zeigen soll. Mein Gedanke war, aus den Eigenschaften, dass das Urbild von f einfach zusammenhängend (oder eben nicht) und der Holomorphie und Bijektivität von f zu folgern, dass das selbe auch für das Bild von f gilt. Allerdings weiß ich nicht wie ich dieses sauber formuliere. Reicht es hier auf die Verallgemeinerung des Zwischenwertsatz zu verweisen?

Bei b) hatte ich überlegt a) zu benutzen, allerdings glaube ich, dass dies nicht funktioniert. Meine Idee war anzunehmen, dass fed-Code einblenden fed-Code einblenden

Hat jemand eine Idee für a) und b)?
Und ist meine Überlegung für c) richtig?



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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-22 08:09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo erik,

ich bin kein Spezialist in dieser Sache.

Vielleicht lässt sich bei a) was mit der Cauchy-Formel machen, wenn man um ein Loch herum <math>\frac{1}{z-z_0}</math> integriert, wobei <math>z_0</math> im "Loch" ist, also eine Kurve, auf der ein Integral ungleich Null ist abgebildet wird auf eine Kurve wo das Integral der holomorphen Funktion Null geben muss, weil die Menge einfach zusammenhängend ist.

Bei  b) kann man überlegen, ob es beschränkte nicht konstante holomorphe Funktionen gibt.

Wally
\(\endgroup\)


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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-23 05:31


Hallo Wally,

vielen Dank für deine Antwort. Ich hab gestern Abend mit deinen Hinweisen noch einmal die Aufgabe versucht und natürlich kann man b) mit dem Satz von Liouville lösen  biggrin . Vielen Dank für den Tipp.
Leider komme ich bei a) noch nicht weiter. Das Prinzip mit dem Loch kannte ich noch nicht aber ich werde heute Abend noch einmal versuchen weiterzukommen. (Hättest du ansonsten evtl. noch eine Idee?)

Vielen Dank nochmal.

Erik



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