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Mathematik » Lineare Algebra » Dimension von GL_n(K)
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Universität/Hochschule J Dimension von GL_n(K)
Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-24


Hi,
kann mir jemand erklären, warum GL_n(IR) die Dimension n^2 als IR-Vektorraum hat? Und gilt die Aussage noch, wenn ich IR durch einen beliebigen Körper ersetze?
Kann man außerdem im ersten (oder sogar auch im zweiten) eine Basis angeben?

Red_



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InOMatrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-24


Hallo Red_,

ich frage mich gerade, warum \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) überhaupt ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum sein sollte bzw. ich glaube nicht dass das im Allgemeinen wahr ist.

Ist zum Beispiel \(n=1\), so ist \((1)\) eine invertierbare Matrix, sowie aber auch \((-1)\). Die Summe \((1)+(-1)=(0)\) ist aber sicher nicht invertierbar.

Ich frage mich daher, wo Du das gelesen hast.

LG InOMatrix



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-24


Wie definierst du denn auf $GL_n(K)$ eine Vektorraumstruktur? Das ist eine Teilmenge von $M_n(K)$, was ein $n^2$-dimensionaler $K$-Vektorraum ist, aber kein Unterraum.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-24


Meinst du vielleicht die Lie-Algebra $\mathfrak{gl}_n(\IR)$?



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-24


Ahh, da hast du mich wohl erwischt. Eigentlich meinte ich GL_n(IR) als multiplikative Gruppe, aber dennoch ist die Skalarmultiplikation mit 0 nicht wohldefiniert, wenn wir es auf 0 abschicken, was nicht in GL_n liegt. Danke, dass du geholfen hast  😄

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

Edit: Hatte das hier gelesen und habe mich gefragt wie man von der Dimension der topologischen Struktur auf die Dimension der Vektorraumstruktur schließen kann, jedoch gibt es keine Vektorraumstruktur  😁



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