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Analysis » Folgen und Reihen » Reihenwert berechnen
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Universität/Hochschule J Reihenwert berechnen
JMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-25 17:02


Hallo, kann mir jemand bei folgender Aufgabe behilflich sein?
Und zwar möchte ich den Reihenwert folgender Reihe berechnen

Summe von k=0 bis unendlich : (k+7) / (k+1)*(k+3)*(k+4)

Ich muss erstmal eine Partialbruchzerlegung durchführen, komme damit aber nicht so wirklich weiter



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-25 17:09


Hallo

Woran scheiterst du?

Gruß Caban



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JMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 17:12


Im Moment erstmal bei der Partialbruchzerlegung :)



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-25 17:16


Hallo

ja, das meine ich, ich habe eine gefunden, rechne deinen Versuch mal vor.

Gruß Caban



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JMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 17:31


Habe es so versucht

Summe von k=0 bis unendlich:

(k+7)/(k+1) + (k+7)/(k+3) + (k+7)/(k+4)



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-25 17:46


Hallo

Berechne mal die ersten Summeglieder und schaue mal, welche Terme verschwinden.

Gruß Caban



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JMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 17:56


Habe es jetzt mal für k=1,2,3 berechnet

8/2 + 8/4 + 8/5
+ 9/3 + 9/5 + 6/6
+ 10/4 + 10/6 + 10/7



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-25 18:28


Hallo

Was mir jetzt erst auffällt, das was du gemacht hast, ist überhaupt keine Partialberuchzerlegung.

fed-Code einblenden



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JMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-25 18:34


Danke dir schon mal.

Soll ich jetzt jeweils einmal für x=-1, x=-3 und x=-4
Die Gleichung von dir ausrechnen?



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-25 19:05


Hallo

ja, genau.

Gruß Caban



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JMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26 09:16


Habe es jetzt mal ausgerechnet. Würde dann auf A=1, B=-2 und C=1 kommen.
Wie müsste ich dann damit weitermachen?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-05-26 09:47


Hallo,

2019-05-26 09:16 - JMath in Beitrag No. 10 schreibt:
Habe es jetzt mal ausgerechnet. Würde dann auf A=1, B=-2 und C=1 kommen.
Wie müsste ich dann damit weitermachen?

das stimmt. Sagt dir der Begriff Teleskopsumme etwas? Es ist eine, wenn es auch nicht ganz so offensichtlich ist wie sonst üblich.

Summiere auf jeden Fall mal so 10, 12 Reihenglieder auf, indem du die Partialsumme mit den einzelnen Summanden ausschreibst. Dann passiert etwas, worauf Caban in Beitrag #5 bereits hingewiesen hat...

Dann musst du nur noch diejenigen Reihenglieder identifizieren, die stehen bleiben. Deren Summe ist der Reihenwert.  


Gruß, Diophant




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JMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26 10:16


Danke dir.
Da hänge ich jetzt so bisschen fest :)
Könntest du mir als Beispiel, wie ich das jetzt machen muss vielleicht mal die ersten 1,2 aufschreien.
Weiß gerade nicht, wie ich das in den Partialbruch einsetzen soll



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-05-26 10:20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

du hast jetzt folgendes:

\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k+7}{(k+1)\cdot(k+3)\cdot(k+4)}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{2}{k+3}+\frac{1}{k+4}\right)\]
Was hindert dich jetzt daran, in diesen Term mal mit \(k=0,1,2,3\) einzugehen und das ganze Summand für Summand hinzuschreiben. Und dann mal in aller Ruhe zu betrachten?  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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JMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26 10:36


Habe das jetzt mal so gemacht.

Dabei fällt immer der erste Teil, also 1/k+1 weg und der - 2/k+3 Teil fällt für jedes k = ungerade weg



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-05-26 10:38


Hallo JMath,

bitte: schreibe es konkret hier hin, was du ausgerechnet hast. Sonst kommen wir hier nicht vernünftig weiter.


Gruß, Diophant



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JMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26 10:42


1/1-2/3+1/4 + 1/2-2/4+1/5 + 1/3-2/5+1/6 + 1/4-2/6+1/7

Dabei kürzen sich die 1/2 und die -2/4 weg, dann die 1/3 und die -2/6



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-05-26 10:46


Hallo,

da kürzt sich nichts sondern fast alle der Summanden heben sich gegenseitig auf.

Jetzt versuche mal, die Summanden zu identifizieren, die dabei stehen bleiben, egal wie lange man aufsummiert.


Gruß, Diophant



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JMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26 11:02


Dann habe ich noch 1 - 2/3 - 2/5 - 2/7 ...



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-05-26 11:08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

nein. wenn du dir mal deine Partialbruchzerlegung nochmals genau ansiehst, dann müsste doch folgende Überlegung plausibel sein:

Ab einem bestimmten k taucht jeder mögliche Nenner zweimal in der Form \(+\frac{1}{n}\) und einmal in der Form \(-\frac{2}{n}\) auf. Also müssen die wenigen Summanden, die stehen bleiben, am Anfang stehen. Mach nochmal einen Versuch...

Und lasse dir vielleicht einfach auch mehr Zeit?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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JMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26 11:21


Hab mir jetzt mal alles untereinander aufgeschrieben.

Die einzigen Summanden die in der Form +1/n nicht doppelt vorkommen sind 1/1, 1/2 und 1/3 und dann noch -2/3.

Dann hätte ich also 1 - 2/3 + 1/2 + 1/3 = 5/6



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2019-05-26 11:24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

Bruchrechnen ist auch wichtig:  wink

\[1-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{7}{6}\]
Und das ist jetzt der Grenzwert der Reihe.

Mache dir nocheinmal klar, wie das hier funktioniert hat. Das wird dir im Studium vermutlich noch öfter begegnen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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JMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-26 11:27


Alles klar, schaue mir das alles nochmal genau an. Danke dir



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JMath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-29 19:41


Bin jetzt für z=0 auf A*(2) + B*(2)
und für z=i auf A*(3) + B*(1) gekommen



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2019-05-29 19:47


Hallo,

du bist hier im falschen Thread gelandet. Poste es nochmals hier.

Außerdem musst du beide Terme natürlich noch gleich 1 setzen, sonst bringt das doch überhaupt nichts. Das entstehende LGS könntest du ja dann ersteinmal lösen, und dann machst du im richtigen Thread weiter.


Gruß, Diophant



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