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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Satz der monotonen Konvergenz
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Autor
Universität/Hochschule J Satz der monotonen Konvergenz
Juviole
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.05.2019
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-31


Hi,
ich bin mal wieder etwas hilflos in Bezug auf den Satz der monotonen Konvergenz bzw. der allgemeinen Grenzwertbildung bei Integral.

fed-Code einblenden
ist der Grenzwert, den ich berechnen soll. Die Stammfunktion sehe ich so erstmal nicht. Wie genau darf ich den Satz der monotonen Konvergenz in dem Falle verstehen? Ich darf vorraussetzen, dass fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
in n monoton wachsend ist.
Nun ist aber auch fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Kann ich also einfach unendlich in der oberen Grenze des Integrals einsetzen und den Grenzwert für fed-Code einblenden
ins Integral rein ziehen und dann das uneigentliche Integral berechnen?



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InOMatrix
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 17.04.2019
Mitteilungen: 31
Aus: Berlin, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-31


Hallo Juviole,

erstmal vorab: \(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\ne 1\), setzt Du zum Beispiel \(x=1\), so ist der Grenzwert \(e^{-1}\).

Der Satz der monotonen Konvergenz besagt, dass wir den Limes in das Integral hineinziehen dürfen, falls wir eine Funktionenfolge nichtnegativer Funktionen haben, für die \(f_n(x)\leq f_{n+1}(x)\) für alle \(n\in\mathbb{N},x\in\mathbb{R}\) gilt.

Wir betrachten nun mal die Funktionenfolge
\[f_n(x):=1_{[0,n]}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}\left(1-\frac{x}{n}\right)^n.\] Vielleicht kommst Du damit schon weiter; was geschieht zum Beispiel jetzt mit der oberen Integralgrenze, und was musst Du nun zeigen?

Edit: Ich sehe gerade, dass diese Folge nicht monoton steigt. Aber vielleicht findet sich eine andere Idee die Funktionen in eine monotone Funktionenfolge zu umzumodeln

LG InOMatrix



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1782
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-31

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

das ist jetzt hier um ehrlich zu sein nicht wirklich mein Thema. Vielleicht hilft dir aber schon die Klärung eines Irrtums weiter. Es ist nämlich

\[\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{x}{n}\right)^n=e^{-x}\]
Und nicht 1, so wie du es oben stehen hast.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Squire
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 578
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-31


Servus Juviole und danke für die schöne Aufgabe, da musste ich erst mal nachdenken.
Tipp: Substitution $u=\sqrt{x}$. Den dann verbleibenden Integranden abzuschätzen, schaffst du sicher.
Grüße Squire



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Juviole
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.05.2019
Mitteilungen: 25
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-31


Ihr könnt euch gar nicht vorstellen, wie dumm ich mich nun fühle. Der Grenzwert n gegen unendlich (1-x/n)^n war nämlich Klausuraufgabe von Mathe 1. Danke euch allen, das wäre ein Fettnäpfchen gewesen.

Squire : das heißt fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
ist das subtituierte Integral, was dann am Ende berechnet werden muss? Ich bin nochmal am suchen nach Material zur Substitution, das Ganze ist bei mir nun auch fast ein Jahr her.

Okay, ich habs nun tatsächlich irgendwie rausbekommen (wobei ich mir nicht sicher bin wie unser Professor dachte, dass wir da drauf kommen sollten).

fed-Code einblenden
Und das letzter Ausdruck als Stammfunktion grade die gaußsche Fehlerfunktion hat, wie man da drauf kommen soll..




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