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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Umformung invertierbare Matrizen und Projektionen
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Universität/Hochschule J Umformung invertierbare Matrizen und Projektionen
Lea5619
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  Themenstart: 2019-06-05

Hallo, es geht um die Umformungen in diesem Theorem: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51485_theorem2.5.png Meine Frage: Wie folgt die vorletzte Gleichheit? Dabei ist P_V,W die Projektion auf V über W. Ich hatte gedacht, dass die Umformung mit dem Punkt (b) aus dem folgenden Theorem funktionieren könnte, was aber in meinen Versuchen nicht funktioniert hat... https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51485_theorem2.2.png Danke!!


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Ex_Senior
  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-05

Hallo, so kompliziert mußt Du es garnicht nachrechnen. Für ene Projektion gilt $Im(P_{V,W})=V$ und $P_{V,W}|_V = id_V$, wenn ich die Definition richtig gelesen habe. Damit sollte die Gleicheit der einzelnen Summanden geklärt werden können. In beiden Fälle bleibt ja jeweils nur der ganz rechte Faktor übrig.


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Nuramon
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  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\) Hallo, (Disclaimer: Ich habe nur über die von dir markierte Gleichung nachgedacht und den Rest nicht wirklich angesehen.) Es gilt $C^{-1}P_{C\mathcal W^\perp, \mathcal V}CP_{\mathcal W^\perp, \mathcal V} = P_{\mathcal W^\perp, \mathcal V}$ (1) und $P_{\mathcal V, C\mathcal W^\perp}P_{\mathcal V, \mathcal W^\perp} = P_{\mathcal V, \mathcal W^\perp}$ (2). Zu (2): Das Bild von $P_{\mathcal V, \mathcal W^\perp}$ ist $\mathcal V$. Außerdem ist die Einschränkung von $P_{\mathcal V, C\mathcal W^\perp}$ auf $\mathcal V$ die Identität $\id_{\mathcal V}$. Bekommst du (1) auf ähnliche Weise hin? [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]\(\endgroup\)


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Lea5619
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-06

Danke!! Zu (1): Die zweite Projektion hat W^\senkrechtauf\ als Bild und die Einschränkung der ersten Projektion auf CW^\senkrechtauf\ ist wieder die Identität und C und C^-1 bilden ebenso die Identität.... Danke :)


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Lea5619
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-14

Ich habe zwar die zweite Gleichheit verstanden. Die erste ist mir aber leider nicht ganz klar. Ich dachte das würde durch ausmultiplizieren folgen, aber ich komme nicht auf die Zeile. Wie folgt die erste Gleichheit?


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Ex_Senior
  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-14

Zu $C^{-1}P_{C\mathcal W^\perp, \mathcal V}CP_{\mathcal W^\perp, \mathcal V} = P_{\mathcal W^\perp, \mathcal V}$ Für einen Vektor x gilt $y:=P_{\mathcal W^\perp, \mathcal V}x\in \mathcal W^\perp$. Damit hast Du Gleichung $C^{-1}P_{C\mathcal W^\perp, \mathcal V}Cy = C^{-1}\text{id}_{C\mathcal W^\perp}Cy$.


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Lea5619
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-15

Vielen Dank für die Antwort! Ich meinte damit aber gar nicht mehr die Gleichheit, sondern die folgende rot umkreiste: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51485_theorem2.5ErsteGleichheit.png Wie folgt sie? (Ich hatte es mit ausmultiplizieren versucht. Bin aber leider nicht auf das Ergebnis gekommen :/)


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Nuramon
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  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-15

Wenn du ausmultiplizierst, erhältst du vier Summanden. Zwei davon bleiben noch für die nächste Zeile übrig, die anderen beiden sind Null. Siehst du warum?


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Lea5619
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-15

Ahjaaa, Danke für den Hinweis :)))


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