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Analysis » Funktionalanalysis » Raum der beschränkten Funktionen vollständig
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Universität/Hochschule J Raum der beschränkten Funktionen vollständig
iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-07


Hello everybody,

Ich hab mal ein paar Fragen bezüglich zum Beweis, das der Raum aller beschränkten Funktionen vollständig sein soll, den ich hier gefunden habe und einen Beweis den ich aus der Vorlesung kenne, ich fange einfach mal mit dem Beweis von hier an, den ich hier rüberkopiere wenn ich das darf( weiß leider nicht wie ich auf den Link von dem Thread verweisen kann):


fed-Code einblenden


joa, dann zu den Fragen, ich würde den gerne komplett nachvollziehen wollen und Schritt für Schritt durchgehen. Es geht mir dabei nur um den Beweis der Vollständigkeit, dafür muss man ja zeigen, das alle fed-Code einblenden , die man als Cauchyfolgen setzt, in dem Raum der beschränkten Funktionen konvergieren und das Konvergieren meint hier ja die Cauchyfolge soll konvergieren in der Supremumsnorm. Aber schon bei dem nächsten Punkt, nämlich fed-Code einblenden , weiß ich nicht warum diese Ungleichung gilt. Also meine 1. Fragen:
Warum ist fed-Code einblenden eine Cauchyfolge und warum überhaupt für feste s? Und warum heißt es im Index k und nicht n? Und sollen im rechten Teil der Ungleichung die fk und fl von der vorherigen Folge fed-Code einblenden kommen oder wo kommen die her, ich bin mir relativ unsicher, wäre super wenn mir das jemand sagen könnte und warum.

Okay, die Folge fed-Code einblenden ist ja dann aus dem Raum von X und aufgrund der Vollständigkeit soll diese Folge einen Grenzwert haben, soweit kann ich es nachvollziehen.

Die nächsten beiden Zeilen sind: fed-Code einblenden
Das sind doch nur nochmal die Zusammenfassung von der Ungleichung, die ich nicht nachvollziehen kann oder? Wurde da irgendwas gemacht was ich übersehen habe?

Ab der nächsten Zeile folgend fed-Code einblenden kann ich noch zu sagen, das diese Gleichung gilt, weil die Folge fed-Code einblenden ja konvergiert, aber sonst versteh ich gar nix mehr... Explizit versteh ich nicht warum man überhaupt fed-Code einblenden mit der Dreiecksungleichung abschätzen will und dann ein Ergebnis über den Index k zu bekommen.

Weiter weiß ich auch nicht warum dann die Ungleichung fed-Code einblenden daraus folgt und woher der Index N kommt und warum dann darauf wiederum folgt das fed-Code einblenden . Was ist hier überhaupt das f ohne index und weiteres? Soll ja vermutlich der Grenzwert von fed-Code einblenden sein aber ich sehe beim Besten Willen nicht wieso.

Die nächste Gleichung fed-Code einblenden ist mir leider auch unklar, es ist vermutlich irgendwie die Definition der Supremumsnorm aber sehe irgendwie nicht wieso das gilt...Vielleicht liegt es daran das ich nicht genau weiß welche Surpemumsnorm hier gewählt wird bzw. wie die genau aussieht.


Ich glaube ich werde erstmal nur diesen Beweis hier rein stellen und den 2. nicht, solange ich diesen noch nicht verstanden habe, ich hoffe ihr versteht wo meine Probleme liegen und hoffe das mir der eine oder andere helfen kann.

Beste Grüße euch





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Monom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-07


Hallo iwanttolearnmathe,

der Beweis läuft in 2 Schritten:
1. Identifizieren eines Kandidaten $f$, der Grenzwert der Cauchy-Folge $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ in $\mathcal{B}$ sein könnte.
2. Nachweisen, dass die Cauchy-Folge $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tatsächlich gegen $f \in \mathcal{B}$ konvergiert.

Punkt 2 sind eigentlich zwei Schritte, nämlich:
2a. Nachweisen, dass der Kandidat $f$ Element des Raumes $\mathcal{B}$ ist.
2b. Nachweisen, dass $\lim_{n\to\infty} f_n = f$ im Sinne von $\mathcal{B}$.

Um den Kandidaten $f$ zu konstruieren, wird die Vollständigkeit von $X$ verwendet. Wenn nämlich $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ Cauchy-Folge in $\mathcal{B}$ ist, dann ist $(f_n(s))_{n\in\mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge in $X$ für jedes $s \in S$. Um das zu sehen, wird die erste Ungleichung verwendet:
$$ \lVert f_k(s) - f_l(s) \rVert_X \leq \sup_{s \in S}\lVert f_k(s) - f_l(s) \rVert_X = \lVert f_k - f_l \rVert_{\mathcal{B}} \quad \forall s \in S; k,l \in \mathbb{N}.$$ Ich habe hier mal einen Zwischenschritt ergänzt.

Weil $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ Cauchy-Folge in $\mathcal{B}$ ist, also $\lVert f_k - f_l \rVert_{\mathcal{B}}$ beliebig klein gemacht werden kann, ist auch $(f_n(s))_{n\in\mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge in $X$ für jedes $s \in S$. Denn wegen obiger Ungleichung können wir auch $\lVert f_k(s) - f_l(s) \rVert_{X}$ beliebig klein machen.

Wegen der Vollständigkeit von $X$ können wir für jedes $s$ den Grenzwert $f(s) := \lim_{n \to \infty} f_n(s)$ bestimmen und damit eine Funktion $f\colon S \to X$ definieren. Die ist wegen $\lim_{n \to \infty} f_n(s) \in X$ für jedes $s \in S$ auch wohldefiniert. Das ist nun unser Kandidat für den Grenzwert in $\mathcal{B}$.

Wir wollen nun Schritt 2a ausführen und zunächst nachweisen, dass unser Kandidat $f$ auch im Raum $\mathcal{B}$ ist. Dazu nutzen wir die Definition der Cauchy-Folge in $\mathcal{B}$:
Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es einen Index $N\in \mathbb{N}$ ab dem für alle Folgenglieder $f_k$, $f_l$ mit $k,l \geq N$ gilt, dass
$$ \lVert f_k - f_l \rVert_{\mathcal{B}} \leq \varepsilon.$$ Das bedeutet ausgeschrieben
$$ \sup_{s\in S} \lVert f_k(s) - f_l(s) \rVert_X = \lVert f_k - f_l \rVert_{\mathcal{B}} \leq \varepsilon,$$ was äquivalent ist zu
$$ \lVert f_k(s) - f_l(s) \rVert_X \leq \varepsilon \quad \forall s \in S. \tag{1}\label{eq:1}$$ Außerdem wissen wir, wegen der Konvergenz von $(f_n(s))_{n\in\mathbb{N}}$ in $X$, dass
$$ \lim_{n\to\infty} \lVert f_n(s) - f(s) \rVert_X = 0 \tag{2}\label{eq:2}$$ für jedes $s \in S$. Das ist einfach die Definition von Konvergenz in $X$.
Dies können wir benutzen: Für alle $s \in S$ gilt
$$ \lVert f_k(s) - f(s) \rVert_X = \lVert f_k(s) - f_l(s) + f_l(s) - f(s) \rVert_X \leq \lVert f_k(s) - f_l(s) \rVert_X + \lVert f_l(s) - f(s) \rVert_X. $$ Hier haben wir den Hinweis mit der Dreiecksungleichung verwendet. Den ersten Summanden können wir mit $\eqref{eq:1}$ abschätzen und für den zweiten nehmen wir auf beiden Seiten den Grenzwert $l \to \infty$:
$$ \Rightarrow \quad \lVert f_k(s) - f(s) \rVert_X \leq \lVert f_k(s) - f_l(s) \rVert_X + \lVert f_l(s) - f(s) \rVert_X \leq \varepsilon + \lVert f_l(s) - f(s) \rVert_X \quad \forall s\in S $$ $$ \Rightarrow \quad \lVert f_k(s) - f(s) \rVert_X = \lim_{l\to\infty} \lVert f_k(s) - f(s) \rVert_X \leq \varepsilon + \lim_{l\to\infty} \lVert f_l(s) - f(s) \rVert_X = \varepsilon \quad \forall s\in S .\tag{3}\label{eq:3}$$ Hier haben wir jetzt auch $\eqref{eq:2}$ benutzt.

Mit dieser Vorarbeit können wir nun endlich folgern, dass
$$ \lVert f(s) \rVert_X = \lVert f(s) - f_k(s) + f_k(s) \rVert_X \leq \lVert f(s) - f_k(s) \rVert_X + \lVert f_k(s) \rVert_X \leq \varepsilon + \sup_{s\in S}\lVert f_k(s) \rVert_X = \varepsilon + \lVert f_k \rVert_{\mathcal{B}}$$ für ein $k \geq N$ und alle $s \in S$. Dazu haben wir die Dreiecksungleichung, $\eqref{eq:3}$ und die Definition von $\lVert \cdot \rVert_{\mathcal{B}}$ verwendet. Da diese Ungleichung für alle $s \in S$ gilt, gilt sie auch für das Supremum:
$$ \lVert f \rVert_{\mathcal{B}} = \sup_{s \in S} \lVert f(s) \rVert_X \leq \varepsilon +  \lVert f_k \rVert_{\mathcal{B}} < \infty. $$ Dies bedeutet, dass $f$ beschränkt ist und somit $f \in \mathcal{B}$.

Jetzt müssen wir nur noch 2b angehen und sind fertig. Wir wissen bereits aus $\eqref{eq:3}$, dass
$$ \lVert f_k(s) - f(s) \rVert_X \leq \varepsilon$$ für alle $s \in S$ und $k \geq N$ gilt. Wenn das aber für alle $s \in S$ gilt, dann auch für das Supremum:
$$ \lVert f_k - f \rVert_{\mathcal{B}} = \sup_{s\in S} \lVert f_k(s) - f(s) \rVert_X \leq \varepsilon$$ für alle $k \geq N$. Das heißt aber, dass wir für jedes $\varepsilon > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$ finden, sodass für alle $k \geq N$ gilt:
$$ \lVert f_k - f \rVert_{\mathcal{B}} \leq \varepsilon.$$ Das ist genau die Definition des Grenzwerts. Also konvergiert $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ gegen $f \in \mathcal{B}$, d.h. $\lim_{n\to\infty} f_n = f$, und $\mathcal{B}$ ist damit vollständig.

Viele Grüße
Monom




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iwanttolearnmathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-07


Hallo Monom,

Erstmal vielen Dank für die ganze Mühe, das hat mega gut geholfen. smile
Soweit kann ich (endlich mal) bei einem Beweis alles nachvollziehen, hätte aber noch 2 3 Fragen dazu.


Was genau meinst du mit dem 1. Punkt, das man einen Grenzwert f identifizieren möchte?


2019-06-07 01:37 - Monom in Beitrag No. 1 schreibt:
 Um das zu sehen, wird die erste Ungleichung verwendet:
$$ \lVert f_k(s) - f_l(s) \rVert_X \leq \sup_{s \in S}\lVert f_k(s) - f_l(s) \rVert_X = \lVert f_k - f_l \rVert_{\mathcal{B}} \quad \forall s \in S; k,l \in \mathbb{N}.$$
Ich habe hier mal einen Zwischenschritt ergänzt.

Heißt das man definiert so die Supremumsnorm des Raumes B, das sie den größten Wert von der Norm auf X hat?



Mir ist glaube dabei noch nicht ganz der Unterschied fed-Code einblenden und fed-Code einblenden klar, also ist das irgendwie die gleiche Funktion, nur das die eine die Elemente von x auswertet und die andere halt nicht? Ich hab leider kein Bild zu einer Funktion bei der man keine Variablen einsetzt(wenn es das überhaupt gibt).


2019-06-07 01:37 - Monom in Beitrag No. 1 schreibt:
 Wenn das aber für alle $s \in S$ gilt, dann auch für das Supremum:

Kann man hier eigentlich auch ein anderes Argument verwenden? Also das es stimmt bin ich absolut von überzeugt, man kann natürlich sagen das es für alle s gilt und dann auch für das größte, aber ich hab das so noch nie gesehen, vielleicht auch weils keiner sagt weil es "offensichtlich" ist. Also bin ich nur neugierig ob man das auch anders begründen kann, genauso frag ich mich das bei der anderen Stelle wo du das erwähnt hast.




2019-06-07 01:37 - Monom in Beitrag No. 1 schreibt:
Außerdem wissen wir, wegen der Konvergenz von $(f_n(s))_{n\in\mathbb{N}}$ in $X$, dass
$$\lim_{n\to\infty} \lVert f_n(s) - f(s) \rVert_X = 0 \tag{2}\label{eq:2}$$
für jedes $s \in S$. Das ist einfach die Definition von Konvergenz in $X$.
Ist das hier die punktweise Konvergenz? Und das hier:
2019-06-07 01:37 - Monom in Beitrag No. 1 schreibt:
 Das heißt aber, dass wir für jedes $\varepsilon > 0$ ein $N \in \mathbb{N}$ finden, sodass für alle $k \geq N$ gilt:
$$ \lVert f_k - f \rVert_{\mathcal{B}} \leq \varepsilon.$$
die gleichmäßige Konvergenz?
Bei dem anderen Beweis war nämlich auch darüber argumentiert worden, aber das werd ich glaube nochmal fragen wenn ich den poste bzw. fragen stellen werde, würde mich aber interessieren ob das genau das ist.
Liegt da bei der punktweisen ung gleichmäßigen wieder der Unterschied beim Argument s, das bei der gleichmäßigen nicht gebraucht wird?


Danke nochmals für den Beweis der hat mir echt geholfen.

Viele Grüße
Jan



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Monom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-07


Hallo Jan,

2019-06-07 08:14 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 2 schreibt:
Was genau meinst du mit dem 1. Punkt, das man einen Grenzwert f identifizieren möchte?
Vollständigkeit heißt, salopp gesagt, "alle Cauchy-Folgen konvergieren". Eine konvergente Folge hat einen Grenzwert. Wir müssen also herausfinden, ob / dass jede Cauchy-Folge einen Grenzwert in $\mathcal{B}$ hat.

Du hast schon bemerkt, dass Folgen in $\mathcal{B}$ aufgrund der Supremumsnorm gleichmäßig konvergieren. Ein naheliegender Kandidat für den Grenzwert einer Cauchy-Folge ist daher die Funktion, die aus den punktweisen Grenzwerten besteht. Das ist $f$. Wir haben hier zunächst für jeden Punkt $s \in S$ die Konvergenz von $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ festgestellt und aus diesen Grenzwerten (in $X$) eine Funktion $f$ gebastelt.

Die Schritte sind bei diesen Aufgabentypen / Problemen eigentlich immer gleich. Daher hab ich die allgemein aufgezählt. Zuerst sucht man einen Kandidaten, der als Grenzwert der Cauchy-Folge in Frage kommt, dann beweist man, dass es wirklich der Grenzwert ist.

2019-06-07 08:14 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 2 schreibt:
Heißt das man definiert so die Supremumsnorm des Raumes B, das sie den größten Wert von der Norm auf X hat?
Die Supremumsnorm ist einfach definiert als
$$ \lVert f \rVert_{\mathcal{B}} = \sup_{s \in S} \lVert f(s) \rVert_X. $$ Es ist sozusagen der "größte Wert, den $f$ annimmt" (eigentlich die kleinste obere Schranke der Menge $\{ \lVert f(s) \rVert_X : s \in S\}$).
Diese Definition müsstet ihr in der Vorlesung oder auf dem Übungsblatt gehabt haben.

2019-06-07 08:14 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 2 schreibt:
Mir ist glaube dabei noch nicht ganz der Unterschied fed-Code einblenden und fed-Code einblenden klar, also ist das irgendwie die gleiche Funktion, nur das die eine die Elemente von x auswertet und die andere halt nicht? Ich hab leider kein Bild zu einer Funktion bei der man keine Variablen einsetzt(wenn es das überhaupt gibt).
Die Folge $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ist eine Folge von Funktionen $f_n\colon S \to X$, also eine Folge in $\mathcal{B}$. Für ein beliebiges $s \in S$ ist die Folge $(f_n(s))_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge von Werten in $X$. Das ist, zugegebenermaßen, etwas abstrakt.

2019-06-07 08:14 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 2 schreibt:
Kann man hier eigentlich auch ein anderes Argument verwenden? Also das es stimmt bin ich absolut von überzeugt, man kann natürlich sagen das es für alle s gilt und dann auch für das größte, aber ich hab das so noch nie gesehen, vielleicht auch weils keiner sagt weil es "offensichtlich" ist. Also bin ich nur neugierig ob man das auch anders begründen kann, genauso frag ich mich das bei der anderen Stelle wo du das erwähnt hast.
Ich wüsste momentan nicht, wie man das anders begründen könnte. Das ist eigentlich ein allgemein üblicher Schluss.

2019-06-07 08:14 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 2 schreibt:
Ist das hier die punktweise Konvergenz?
Genau.

2019-06-07 08:14 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 2 schreibt:
Und das hier die gleichmäßige Konvergenz?
Ja, weil gleichmäßige Konvergenz "Konvergenz in Supremumsnorm" bedeutet.

2019-06-07 08:14 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 2 schreibt:
Liegt da bei der punktweisen ung gleichmäßigen wieder der Unterschied beim Argument s, das bei der gleichmäßigen nicht gebraucht wird?
Die punktweise Konvergenz bezieht sich nur auf einen Punkt $s \in S$ bzw. auf jedes $s \in S$ separat / individuell. Das heißt, wenn $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ punktweise gegen $f$ konvergiert, bedeutet das:
Zu jedem $\varepsilon > 0$ und $s \in S$ gibt es ein $N_s \in \mathbb{N}$, sodass für alle $n \geq N_s$ gilt:
$$ \lVert f_n(s) - f(s) \rVert_X \leq \varepsilon.$$ Der Index $N_s$ darf von $s$ abhängen, d.h. für jedes $s \in S$ könnten wir ein anderes $N_s$ haben. Es muss keinerlei Zusammenhang zwischen den $N_s$ für verschiedene $s \in S$ bestehen.

Gleichmäßige Konvergenz sagt, dass es ein gemeinsames $N$ für alle $s\in S$ gibt:
Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $N \in \mathbb{N}$, sodass für alle $s \in S$ und alle $n \geq N$ gilt:
$$ \lVert f_n(s) - f(s) \rVert_X \leq \varepsilon.$$ Beachte hier die Position des "für alle $s \in S$". Hier kann man wieder argumentieren "wenn es für alle $s \in S$ gilt, dann auch für das Supremum" und gelangt zu der äquivalenten Formulierung:
Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $N \in \mathbb{N}$, sodass für alle $n \geq N$ gilt:
$$ \sup_{s\in S} \lVert f_n(s) - f(s) \rVert_X = \lVert f_n - f \rVert_{\mathcal{B}} \leq \varepsilon.$$
Viele Grüße
Monom



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-11


Hey Monom,

Danke das war sehr hilfreich von dir, ich hätte noch ein paar Fragen allgemein zur Differenzierbarkeit aber das mach ich wohl lieber in einem anderen thread, außer ich darf das hier :)

Grüße Jan



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-11


Hallo Jan,

bitte erstelle für diese Fragen (zu einem anderen Thema) einen neuen Thread und hake diesen Thread ab.

Viele Grüße
Monom



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-11


Hey Monom,

Alles klar werde ich machen, ich hätte allerdings noch eine Frage wieso man gleichmäßige Konvergenz zeigen muss, wenn die doch punktweise konvergieren ist das doch schon Konvergenz.

Viele Grüße
Jan



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-11


Hallo Jan,

2019-06-11 16:41 - iwanttolearnmathe in Beitrag No. 6 schreibt:
noch eine Frage wieso man gleichmäßige Konvergenz zeigen muss, wenn die doch punktweise konvergieren ist das doch schon Konvergenz.
Wie meinst Du das?

Um die Vollständigkeit nachzuweisen, müssen wir zeigen, dass eine Cauchy-Folge beschränkter Funktionen gegen eine beschränkte Funktion konvergiert. Und zwar bezüglich der Norm in $\mathcal{B}$, also gleichmäßig. Wäre $\mathcal{B}$ mit einer anderen Norm versehen, müssten wir keine gleichmäßige Konvergenz zeigen.

Die punktweise Konvergenz verwenden wir nur, um einen Kandidaten zu konstruieren. Wegen der Norm in $\mathcal{B}$ haben wir eine "gleichmäßige" Cauchy-Folge. Wir wissen noch nicht, ob die (gleichmäßig) konvergiert. Aber wir können die punktweise Konvergenz (in $X$) benutzen.

Die gleichmäßige Konvergenz wird also von der Norm in $\mathcal{B}$ diktiert. Hätten wir hier eine andere Norm, müssten wir auch eine andere Art von Konvergenz zeigen.

Viele Grüße
Monom



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19


Hey Monom, entschuldige die späte Antwort, mein Fehler war glaube ich zu denken das man gleichmäßige Konvergenz zeigen muss für die Konvergenz der Cauchyfolgen aber aus einem anderen Grund: nämlich damit jede cauchyfolge konvergiert und nicht wegen der supremumsnorm, sondern einfach konvergiert, also egal ob punktweise oder gleichmäßig, ich hatte gar nicht beachtet das es wegen der Norm auf die gleichmäßige Konvergenz hinausläuft. Deshalb hab ich gefragt warum man nicht einfach punktweise zeigen kann. Hoffe das passt so wie ich es geschrieben habe, hoffe das klingt danach das ich es verstanden habe bzw. das ich es jetzt auch verstanden habe.


Viele Grüße Jan



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