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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Geordnete Menge Maximum/Maximale Elemente
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Universität/Hochschule Geordnete Menge Maximum/Maximale Elemente
Bubble123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-08


ich habe eine kurze Frage zu einer Aufgabe : Sei (X,<=) eine eine geordnete Menge. Überzeugen sie sich davon dass X höchstens ein Maximum haben kann.
Aber die Menge ist nicht endlich, also hätte ich jetzt eigentlich gesagt es gibt immer noch ein Element dass grösser ist. Also würde es keines geben was ja kompatibel mit höchsten ist. Liege ich soweit richtig?
Meine Frage bezieht sich jetzt vorallem auf die Frage ob die Menge maximale Elemente hat, was ja bedeutet dass anstatt dem kleiner gleich beim Maximum strikt kleiner gelten muss.
Ich hätte jetzt einfach gesagt dass es keine maximalen Elemente und kein maximales Element gibt weil die Menge unendlich ist.
Stimmt das so?
vielen Dank für eine Antwort schon im Voraus.



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-08


Hallo,

zwei Hinweise: Erstens ist es von Vorteil, die Definitionen von geordneter Menge und von Maximum zu wiederholen. Zweitens ist die Menge beliebig und nicht notwendigerweise unendlich. Jetzt versuchs nochmal von vorne.


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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Bubble123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-08


Also ein Element x aus X heisst maximal falls für alle alle y aus X gilt: y<=x =>x=y. Die letzte Implikation gilt für ein Maximum nicht. Aber ich frage mich gerade ehrlich gesagt wieso, weil eigentlich gilt doch, dass ein Maximum eindeutig also dass es nicht 5 Maxima gleichzeitig geben kann.
Also ein maximales Element ist  auch eindeutig.
kann es sein dass eine geordnete Menge kein Maximum und auch keine maximalen Elemente hat genau wenn die Menge unendlich ist.
Und dass eine geordnete menge nur ein maximales Element hat ohne ein Maximum wenn die Menge nur aus einem Element besteht?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-08


2019-06-08 22:36 - Bubble123 in Beitrag No. 2 schreibt:
Also ein Element x aus X heisst maximal falls für alle alle y aus X gilt: y<=x =>x=y.
Die Frage war wie in der Aufgabenstellung nach einem Maximum und nicht nach einem maximalen Element.


Die letzte Implikation gilt für ein Maximum nicht. Aber ich frage mich gerade ehrlich gesagt wieso, weil eigentlich gilt doch, dass ein Maximum eindeutig also dass es nicht 5 Maxima gleichzeitig geben kann.
Ich kann dir nicht folgen.


Also ein maximales Element ist  auch eindeutig.
Nein.


kann es sein dass eine geordnete Menge kein Maximum und auch keine maximalen Elemente hat genau wenn die Menge unendlich ist.
Nein. Betrachte z.B. das Intervall $[0,1]$.


Und dass eine geordnete menge nur ein maximales Element hat ohne ein Maximum wenn die Menge nur aus einem Element besteht?
Warum sollte das so sein? Dieses eine Element ist doch Maximum und maximales Element gleichzeitig.



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Bubble123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-08


Ich schreibe jetzt genau die Definitonen ab:
Sei (X,<=) eine geordnete Menge. Ein Element x aus X heisst maximal wenn für alle y aus X gilt: x<=y  ==> x=y (also das ist doch gerade eindeutigkeit?) . Ein Element m aus X sodass x<=m  für alle x aus X gilt, heisst m aus X Maximum von X.

zu meiner Aufgabe: zuerst soll ich mir klarmachen dass eine geordnete Menge höchstens ein Maximum besitzt. Also es gibt einen Beweis zur Eindeutigkeit des Maximums. Deswegen verste ich das jetzt denke ich.
jetzt soll ich ein beispiel für 1. eine geordnete Menge ohne Maximum und ohne maximale Elemente finden und zweitens eine geordnete Menge mit genau einem maximalen Element ohne Maximum.
des weiteren weiss ich das nach Zorns Lemma eine induktiv geordnete Menge sprich eine endliche nichtleere geordnete Menge ein maximales Element besitzt.

ich glaube ich stehe gerde echt auf dem Schlauch und bin mir vorallem auch unsicher bezüglich der Eindeutigkeit und des Unterschieds zwischen dem maximalen Elemt und des Maximums



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-08


2019-06-08 22:55 - Bubble123 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich schreibe jetzt genau die Definitonen ab:
Sei (X,<=) eine geordnete Menge. Ein Element x aus X heisst maximal wenn für alle y aus X gilt: x<=y  ==> x=y (also das ist doch gerade eindeutigkeit?) . Ein Element m aus X sodass x<=m  für alle x aus X gilt, heisst m aus X Maximum von X.

zu meiner Aufgabe: zuerst soll ich mir klarmachen dass eine geordnete Menge höchstens ein Maximum besitzt. Also es gibt einen Beweis zur Eindeutigkeit des Maximums. Deswegen verste ich das jetzt denke ich.
OK? Also geschrieben hast du dass dir das klar ist, weil du es dir klarmachen solltest. Find ich jetzt nicht so überzeugend, aber wenn du meinst dass du es damit verstanden hast...


jetzt soll ich ein beispiel für 1. eine geordnete Menge ohne Maximum und ohne maximale Elemente finden und zweitens eine geordnete Menge mit genau einem maximalen Element ohne Maximum.
des weiteren weiss ich das nach Zorns Lemma eine induktiv geordnete Menge sprich eine endliche nichtleere geordnete Menge ein maximales Element besitzt.
Moment, also erstmal sollst du irgendwelche Beispiel angeben, das hat mit Zorns Lemma überhaupt nichts zu tun. Und induktiv geordnet bedeutet auch nicht endlich. Ich schlage jedoch vor, du versuchst erstmal die Beispiele zu finden. Das erste ist sehr einfach, das findest du auch ohne Hilfe. Das zweite ist auch sehr einfach, wenn du ein bisschen Übung mit der Definition von maximal/Maximum hast, wie z.B. wenn du die Aussage über die Eindeutigkeit bewiesen hast.


ich glaube ich stehe gerde echt auf dem Schlauch und bin mir vorallem auch unsicher bezüglich der Eindeutigkeit und des Unterschieds zwischen dem maximalen Elemt und des Maximums
Wie jetzt, ich denk du hast es verstanden?  confused Dann mach doch das erstmal anstatt zur nächsten Aufgabe weiterzuspringen!



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