Die Mathe-Redaktion - 21.08.2019 20:22 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Sept.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 433 Gäste und 19 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wally haerter
Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Lösung einer ODE muss Ungleichung erfüllen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Lösung einer ODE muss Ungleichung erfüllen
EpsilonDelta
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.12.2011
Mitteilungen: 1293
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-10


Es sei \[y_a'(t) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} y_a(t),\ y_a(0)=a\] gegeben.

Ich soll zeigen, dass ein \(a\) existiert, sodass für die Lösung gilt
\[\|y_a(t)\| \le e^{-2t}, \forall t\ge 0\] und dann ein \(a\) sodass
\[\|y_a(t)\| \ge e^{3t}, \forall t\ge 0\] Ich bin mir hier nicht sicher, wie ich vorgehen soll, da ich nicht glaube einen Satz aus dem Skriptum verwenden zu können. Hier mein Versuch:

Die Lösung ist gegeben durch
\[y_a(t)= (c_1e^{3t},c_2e^{-2t})\] mit \(c_1,c_2\) Konstanten. Mit der Anfangsbedingung gilt dann \(c_1=a_1, c_2=a_2\) wobei ich hier mit den Subindizes die Komponenten von \(a\) bezeichne. Wir haben also
\(y_a(t)=(a_1e^{3t},a_2e^{-2t})\)

Ich kann nur eine Ungleichung zeigen, indem ich die Dreiecksungleichung verwende:
\[\|y_a(t)\| = |a_1e^{3t}+a_2e^{-2t}| \le |a_1e^{3t}| +|a_2e^{-2t}|= e^{-2t}\] wobei ich hier \(a_1\) Null gesetzt habe und \(a_2=1\).

Ich bin mir hier nicht sicher, ob meine Vorgangsweise richtig ist, oder es einen speziellen Satz über die Beschränktheit der Lösungen gibt.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2304
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-10


Hallo,

deine Idee ist gut, aber du hast den zweiten Eigenvektor (den zu -2) falsch berechnet. Magst du deine Rechnung mal zeigen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
EpsilonDelta
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.12.2011
Mitteilungen: 1293
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-10


Oh, da habe ich den Basiswechsel vergessen, tut mir leid.

Die Lösung wäre dann

\(y_a(t)=(c_1e^{3t} -c_2e^{-2t},5c_2e^{-2t})\)

und somit \(c_1 = a_1 + a_2/5 \\
c_2 = a_2/5\)



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2304
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-10


Ich habe etwas anderes. Magst du uns deine  Rechnung zeigen?

Abgesehen davon, genügt es vielleicht auch, dass 3 und -2 Eigenwerte sind ohne deren Eigenvektoren auszurechnen. Ist nach Werten für $a$ gefragt?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
EpsilonDelta
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.12.2011
Mitteilungen: 1293
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-10


Ok, also ich rechne mal vor:

Die Eigenwerte sind \(\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -2)\) was aus der Gestalt der Matrix offensichtlich ist.

Die Eigenvektoren sind für \(\lambda_1\), (1,0) und für \(\lambda_2\) (-1,5). Diese Rechnung zeige ich nicht, da ich die Richtigkeit mit Mathematica bestätigt habe.

Jetzt habe ich für die diagonalisierte Matrix die Lösung
\[z(t)=(c_1e^{3t},c_2e^{-2t})\] und muss jetzt noch rücktransformieren, indem ich mit der Basiswechselmatrix, die aus den Eigenvektoren besteht, multipliziere, also
\[\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 5\end{pmatrix}z(t)=(c_1e^{3t}-c_2e^{-2t}, 5c_2e^{-2t})\]
Dann möchte ich ja haben, dass \(y(0)=a\) ist und somit
\[y(0)= (c_1 -c_2, 5c_2)=(a_1,a_2)\] was \(c_2 = a_2/5\) bzw. \(c_1 = a_1 +a_2/5\) ergibt. Somit ist die Lösung

\[y(t)=[(a_1+a_2/5)e^{3t} - a_2/5e^{-2t}, a_2e^{-2t}]\]
EDIT: Ich kann die Werte von a frei wählen!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2304
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-10


Hallo,

ja, ich glaube, dass du recht hast. Also, dass $(1,0)^T$ und $(-1,5)^T$ Eigenvektoren zu den Eigenwerten 3 und -2 sind, kann ich bestätigen. Dann sind aber auch schon $a=2^{42}\cdot (1,0)^T$ bzw. $a=2^{-42}\cdot (-1,5)^T$ geeignete Wahlen für $\|y_a(t)\|\geq e^{3t}$ bzw. $\|y_a(t)\|\leq e^{-2t}$.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
EpsilonDelta hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]