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Mathematik » Stochastik und Statistik » Verteilung einer Zufallsvariable
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Universität/Hochschule J Verteilung einer Zufallsvariable
SophiaS
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-10


Guten Abend.
Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiß wie ich anfangen soll

Aufgabe:
Die Verteilung der Zufallsvariable $X$ ist wie folgt definiert. Eine faire Münze werde geworfen,
und falls die Münze Kopf zeigt, sei $X$ gleichverteilt auf $[1,2],$ sei $X$ gleichverteilt auf $[2,3] .$
1) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion $F_{X}$ von $X .$
2) Berechnen Sie $\mathbb{V}[1 / X]$


Die Definition der Gleichverteilung lautet ja
Seien $a<b, a, b \in \mathbb{R} .$ Die Funktion $F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {x<a} \\ {\frac{x-a}{b-a}} & {a \leq x<b} \\ {1} & {x \geq b}\end{array}\right.
$$

Aber in wie weit soll mir das hier helfen? Handelt es sich denn überhaupt um eine Gleichverteilung?




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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-11

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo SophiaS,

2019-06-10 22:58 - SophiaS im Themenstart schreibt:
Aufgabe:
Die Verteilung der Zufallsvariable $X$ ist wie folgt definiert. Eine faire Münze werde geworfen,
und falls die Münze Kopf zeigt, sei $X$ gleichverteilt auf $[1,2],$ sei $X$ gleichverteilt auf $[2,3] .$
1) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion $F_{X}$ von $X .$
2) Berechnen Sie $\mathbb{V}[1 / X]$


Die Definition der Gleichverteilung lautet ja
Seien $a<b, a, b \in \mathbb{R} .$ Die Funktion $F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {x<a} \\ {\frac{x-a}{b-a}} & {a \leq x<b} \\ {1} & {x \geq b}\end{array}\right.
$$

Aber in wie weit soll mir das hier helfen? Handelt es sich denn überhaupt um eine Gleichverteilung?

In der Tat tut es das und dein Ansatz ist der richtige. Mache dir hierzu nur noch klar, dass es sich um eine faire Münze handelt und dass die beiden Intervalle aneinander grenzen. Das vereinfacht die Sache entscheidend.  smile

Die gesuchte Varianz wird man dann irgendwie über die Erwartungserte von \(1/X\) und \(1/X^2\) per Verschiebungssatz hinpuzzeln müssen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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SophiaS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-11


Guten Morgen,
ich weiß leider nicht so recht, wie ich das hier umsetzten soll:)

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x-1} & {1 \le x \le 2} \\ {x-2} & {2 \leq x\le 3} \end{array}\right.
$$

Könnte dass so stimmen?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-11

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

nein, es ist einfach

\[F(x)=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {x<1} \\ {\frac{x-1}{2}} & {1 \leq x<3} \\ {1} & {x \geq 3}\end{array}\right.
\]
In deiner Variante wäre die Verteilungsfunktion nämlich nicht mehr stetig!

Gehe mal über die Dichtefunktion, da sieht man es leichter ein.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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SophiaS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-11


Ah ok, da hast du recht:)

Eine andere Frage wäre: In der Aufgabe steht berechnen Sie die Verteilungsfunktion, kann man so etwas wohl auch berechnen? Ich hätte es per Augenmaß gemacht:)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-11

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

wie schon gesagt: eine vollständige Berechnung würde über die Dichtefunktion laufen, wobei man annimmt, das Münzwurf und Gleichverteilung unabhängig sind. Das führt sofort auf die folgende Dichte:

\[f(x)=\begin{cases}0&,\ x<1\\\frac{1}{2}&,\ 1\le x<3\\0&,\ x\ge 3\end{cases}\]
Und daraus bekommt du durch Integration die obige Verteilungsfunktion.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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SophiaS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-11


Hallo noch einmal,

ich weiß einfach nicht wich ich hier die Dichtefunktion nutzen soll,
Also welche Grenzen hat denn das integral? 1 und 3 oder? Dann würde ich aber nicht auf den von dir gegeben Wert $\frac{x-1}{2}$ kommen und auf die 1 für $x\ge3$ auch nicht:(

Und könnte der Erwartungswert von 1 / X also E(1 / X) = ln(6) und die gesuchte Varianz V(1 / X) = 2/6 -ln(6)^2 lauten?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-11


Hallo,

da du die Dichte bereits kennst, müsstest du
\[F(x)=\int_{-\infty}^xf(s)\ \mathrm{d}s\] berechnen. Teile das Integral am besten in (höchstens) drei Intervalle auf.

Für die Varianz von $1/X$ berechne
\[E(1/X)=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{s}f(s)\ \mathrm{d}s\] \[E(1/X^2)=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{s^2}f(s)\ \mathrm{d}s\]



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SophiaS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-11


Hallo,

du meinst es so hier oder?
$$
E(1 / X)=\int_{-\infty}^{1} \frac{1}{s} 0 \mathrm{d} s+\int_{1}^{3} \frac{1}{s} \frac{1}{2} \mathrm{d} s+\int_{3}^{\infty} \frac{1}{s} 0 \mathrm{d} s=0+\ln (6)+0=\ln (6)
$$



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-06-11

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

die Idee ist richtig, das Resultat noch nicht. Es ist

\[E[1/X]=\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{s}\frac{1}{2} ds}=\frac{1}{2}\int_1^3{\frac{1}{s} ds}=\frac{1}{2}\ln(3)\]
Auf die gleiche Weise berechnest du jetzt noch den Erwartungswert von \(1/X^2\) und wendest für die Varianz dann den Verschiebungssatz an.


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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SophiaS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-11


hallo,

ja das stimmt:)

Eine Frage wäre aber noch offen und zwar wie komme ich rechnerisch auf Fx

Setze ich 1/2 in das Dichte integral ein, kommt nicht das raus was du für Fx raus bekommst



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-06-11


Doch, aber du musst das Intervall, über welchen integriert wird, in mehrere Abschnitte teilen.



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SophiaS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-11


Hey, ok ich führe es nun einmal aus


$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {, x<1} \\ {\frac{1}{2}} & {, 1 \leq x<3} \\ {0} & {, x \geq 3}\end{array}\right.$$

Dann integriere ich jeden Fall einzeln:

1. Fall: $\int_{-\infty}^{1} 0 = 0$
2. Fall: $\int_{1}^{3} \frac{1}{2} d x = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
3. Fall: $\int_{3}^{\infty} 0 = 0$
Damit würde folgen

$$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {x<1} \\ {\frac{2}{3}} & {1 \leq x<3} \\ {0} & {x \geq 3}\end{array}\right.$$

Tut mir sehr leid, dass ich mich so anstelle:) Irgendwie scheint der Stoff noch nicht richtig zu sitzen:( Aber ich arbeite schon nach was das Zeug hält.

Wäre die Varianz V(1/X) = $\frac{1}{3}-\frac{\log ^{2}(3)}{4}$ ?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-06-11


Das ist alles so nicht richtig.
Zuerst einmal ist $\int_1^3\frac 12\,\mathrm dx=1$, da wir über ein Intervall der Länge 2 integrieren und $2\cdot \frac 12=1$ ist.

Dann solltest du folgendes berechnen:
\[F(x)=\int_{-\infty}^xf(s)\,\mathrm{d}s.\] Das gilt auch, wenn dein $x\in(1,3)$ ist. Insbesondere gilt für $x\in(1,3)$
\[F(x)\neq \int_{1}^3 f(s)\,\mathrm{d}s.\]
Du musst dein Integral aufteilen. Für $x\in(1,3)$ gilt
\[F(x)=\int_{-\infty}^xf(s)\,\mathrm{d}s=\int_{-\infty}^0f(s)\,\mathrm{d}s + \int_{0}^xf(s)\,\mathrm{d}s.\]



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SophiaS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-11


Hallo ochen, danke für deine Geduld.

Warum integriert man über der Länge 2? Woher kommt diese Information?

Wenn ich nun $$
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(s) \mathrm{d} s=\int_{-\infty}^{0} f(s) \mathrm{d} s+\int_{0}^{x} f(s) \mathrm{d} s
$$

berechne welchen Wert der Verteilung bekomme ich denn da? den für 1<=x<3 ?
oder die 1 von x>= 3 ?


Edit Wenn ich das obere Integral berechne komme ich auf

$$
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(s) \mathrm{d} s=\int_{-\infty}^{0} f(s) \mathrm{d} s+\int_{0}^{x} f(s) \mathrm{d} s = \int_{-\infty}^{0} 0 \mathrm{d} s+\int_{0}^{x} \frac{1}{2} \mathrm{d} s = 0 + \frac{x}{2}
$$



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-06-11


Leider verstehe ich deine Frage nicht. Wie berechnest du denn $\int_1^3 \frac 12\ \mathrm ds$ normalerweise? Kannst du bitte deine Rechnung einmal aufschreiben?


Wenn ich nun \[
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(s)\, \mathrm{d} s=\int_{-\infty}^{0} f(s)\, \mathrm{d} s+\int_{0}^{x} f(s)\, \mathrm{d} s
\]
berechne welchen Wert der Verteilung bekomme ich denn da? den für 1<=x<3 ?
oder die 1 von x>= 3 ?

Das kommt auf dein $x$ an...

Es sollte
\[
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(s)\, \mathrm{d} s=\int_{-\infty}^{1} f(s) \,\mathrm{d} s+\int_{1}^{x} f(s)\, \mathrm{d} s
\] sein, sorry. Wenigstens das zweite der beiden Integrale hängt von $x$ ab.



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SophiaS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-11


Ok ich formuliere meine Frage verständlicher.

Das Ziel ist es ja von der Dichtefunktion
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {, x<1} \\ {\frac{1}{2}} & {, 1 \leq x<3} \\ {0} & {, x \geq 3}\end{array}\right.
$$
(wie auch immer man darauf kommt)


auf die Verteilungsfunktion
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}{0} & {x<1} \\ {\frac{x-1}{2}} & {1 \leq x<3} \\ {1} & {x \geq 3}\end{array}\right.
$$
zu kommen.

So hierbei muss man ja die 3 Fälle irgendwie betrachten, denn nur durch den mittleren, also  1/2, kommt man ja nicht auf die Verteilungsfunktion.


Mein Problem ist  einfach nur, dass ich nicht weiß wie ich die einzelnen Fälle berechnen soll.

Ich würde $$
\int_{1}^{3} \frac{1}{2}
$$

So hier berechnen

$$
\int_{-\infty}^{1} 0 \mathrm{d} s+\int_{1}^{3} \frac{1}{2} \mathrm{d} s  
$$

Aber da komme ich nicht auf den Wert.

Wenn ich aber deinen (ich darf doch dutzen?) Vorschlag
$$
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(s) \mathrm{d} s=\int_{-\infty}^{1} f(s) \mathrm{d} s+\int_{1}^{x} f(s) \mathrm{d} s
$$
benutze komme ich auf  $$\frac{x-1}{2}$$.
Warum dies allerdings so funktioniert, ist mir ein Rätzel. Ich meine wo ist hier die Grenze für 3?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-06-11

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

vorneweg: du solltest dir unbedingt nochmal das Konzept von Dichte- und Verteilungsfunktion stetiger Zufallsvariablen anschauen.

Es kommt hier für uns ziemlich überraschend, dass die Basics bei dir noch nicht sitzen, wo du ja gleichzeitig nach Erwartungswert bzw. Varianz einer Funktion fragst.

Ok, dann Mal zur Sache:  smile

Wie man auf die Dichte kommt, habe ich in Beitrag #5 schon angedeutet: zunächst wird ja eine ideale Münze geworfen. Die beiden Ausgänge haben jeweils die Wahrscheinlichkeit \(1/2\), und das ist jetzt wichtig: denn abhängig vom Ausgang des Münzwurfes wird jetzt eine Gleichverteilung entweder auf \([1,2]\) oder auf \([2,3]\) gewählt. Deren Dichten hätten dort jeweils den Wert 1, wenn nicht die Münzwürfe wären. Deren Wahrscheinlichkeiten muss man mit dem Wert der beiden Dichten noch multiplizieren und so kommt es zu dem auf \([1,3]\) durchgängig konstanten Wert von \(1/2\), weswegen man die beiden Intervalle zusammenfassen kann.

Nun zur Verteilungsfunktion. Bis \(x=1\) muss diese den Wert 0 haben, ab \(x=3\) den Wert 1. Interessant ist also der Bereich von 1 bis 3 und dort sieht das Integral so aus:

\[\int_1^x{\frac{1}{2} ds}=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\]
Das hast du aber vom Prinzip her so schon im Themenstart stehen!

Bitte entschuldige, dass ich nicht zitiert habe, das ist vom Handy aus geschrieben.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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SophiaS
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-11


Hallo Diophant,
es ist alles nachvollziehbar bis auf die Grenzen  von 1 nach x. Warum nach x und nicht nach 3? Weil die 3 hier nicht angenommen werden kann?




Ich weiß, dass ich noch viel lernen muss und ich bin auch dabei, nur fällt mir die Anwendung immer so schwer.

Die einzige Formel die wird zu Dichte haben lautet
$$
F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x} f_{X}(t) d t
$$

und dazu gibt es keine Beschreibung. Leider ist dieses Modul ziemlich  grauenhaft(für mich).


P.S. Mir ist gerade dieser Satz hier aufgefallen
"Deren Wahrscheinlichkeiten muss man mit dem Wert der beiden Dichten noch multiplizieren und so kommt es zu dem auf [1,3] durchgängig konstanten Wert von 1/2, weswegen man die beiden Intervalle zusammenfassen kann."

Hier ist aber der Intervall an der Seite 3 geschlossen, also liegt die 3 Ja im Intervall, aber bei der Dichtefunktion nicht, wie kommt das?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2019-06-12

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

2019-06-11 22:55 - SophiaS in Beitrag No. 18 schreibt:
es ist alles nachvollziehbar bis auf die Grenzen  von 1 nach x. Warum nach x und nicht nach 3? Weil die 3 hier nicht angenommen werden kann?

Nein: viel einfacher. Weil du mit der Verteilungsfunktion eine Funktion suchst, die von x abhängt. Hätten wir eine mit einem einzigen Term darstellbare Dichtefunktion auf ganz \(\IR\), dann könntest du die 'Formel'

\[F(x)=\int_{-\infty}^x{f(s) ds}\]
hier direkt umsetzen. Da deine Dichte abschnittsweise definiert ist, musst du eben auch abschnittsweise arbeiten. Dort, wo die Dichte gleich 0 ist, muss die Verteilungsfunktion konstant sein. Aufgrund der Eigenschaften von \(\IR\)-wertigen Zufallsvariablen muss sie links von [1,3) gleich 0 und rechts davon gleich 1 sein. Blleibt also der Abschnitt von 1 bis 3.

2019-06-11 22:55 - SophiaS in Beitrag No. 18 schreibt:
Ich weiß, dass ich noch viel lernen muss und ich bin auch dabei, nur fällt mir die Anwendung immer so schwer.

Ja, aber hier ist es wirklich so, dass man ohne die grundlegenden Konzepte im Prinzip mit Aufgaben gar nicht anfangen muss...

2019-06-11 22:55 - SophiaS in Beitrag No. 18 schreibt:
Die einzige Formel die wird zu Dichte haben lautet
$$
F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x} f_{X}(t) d t
$$

und dazu gibt es keine Beschreibung...

Darauf bauen die Überlegungen von ochen und mir ja auch auf, siehe oben. Wenn dir der Zusammenhang unklar ist, dann sei zum einen auf Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion diskreter Verteilungen verwiesen (was passiert denn, wenn man etwa für eine binomialverteilte ZV eine Wahrscheinlichkeit der Form \(P(X\le k)\) berechnet?), zum anderen auf den Hauptsatz der Analysis. Die Verteilungsfunktion muss ja an jeder Stelle x unendlich viele Werte der Dichtefunktion aufsummieren, so kommt es im stetigen Fall zu diesem Zusammenhang über ein Integral.  

2019-06-11 22:55 - SophiaS in Beitrag No. 18 schreibt:
P.S. Mir ist gerade dieser Satz hier aufgefallen
"Deren Wahrscheinlichkeiten muss man mit dem Wert der beiden Dichten noch multiplizieren und so kommt es zu dem auf [1,3] durchgängig konstanten Wert von 1/2, weswegen man die beiden Intervalle zusammenfassen kann."

Hier ist aber der Intervall an der Seite 3 geschlossen, also liegt die 3 Ja im Intervall, aber bei der Dichtefunktion nicht, wie kommt das?

Achtung: in der Aufgabenstellung ist zunächst von den Intervallen \([1,2]\) und \([2,3]\) die Rede.

Dass man dann bei Dichte- und Verteilungsfunktion u.U. die Intervallgrenzen nicht so setzt, wie durch das eigentliche Problem vorgegeben, liegt letztendlich tief in der Maß- bzw. der Intergationstheorie begründet. Verteilungsfunktionen müssen rechtsstetig sein. Man wählt also bei abschnittsweise definierten Dichte- bzw. Verteilungsfunktionen die betrachteten Intervalle immer von der Form \([a,b)\), um das zu gewährleisten. Insbesondere tut man das auch dann, wenn es keine Auswirkung hat. So wie hier, denn deine Verteilungsfunktion ist stetig (also: links- und rechtsstetig, will sagen, sie hat keine Sprungstellen). Ebenso wie deine Zufallsvariable stetig ist. Für solche stetigen Zufallsvariablen gilt aber grundsätzlich \(P(X=k)=0\) (Stichwort: Nullmaß), daher darf man das machen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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SophiaS
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Hallo,

ich hätte vielleicht erwähnen sollen, dass ich kein Mathematiker bin, denn
Maß- bzw. der Intergationstheorie hört sich nach reiner Mathematik an.

Ich bin Ingenieur und höre Analysis 1-2:)

Ich denke aber, ich kann damit nun arbeiten, hoffe ich:)



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