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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Gram-Schmidt Orthonormalisierung
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Universität/Hochschule Gram-Schmidt Orthonormalisierung
Bubble123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-15


hallo,
ich hätte mal eine Frage zur Gram-Schmidt Orthonormalisierung.
Nämlich rechne ich gerade ein Beispiel und komme nicht auf das richtige Ergebnis.
Gegeben ist eine Matrix (v1,v2,v3) wovon ein Vektor linear abhängig ist.
Meine Idee war jetzt, dass ich ein einen beliebigen Vektor aus meiner Matrix nehme (v2), ihn dann normiere und einen zweiten Vektor nehme und dann Gram Schmidt anwende. Dabei dachte ich ich mach es mir einfacher wenn ich nach dem ersten Vektor einen linear unabhängigen Standardvektor (1,0,0) nehme und so das Verfahren anwende. Leider komme ich nicht auf das richtige Ergebnis aber ich frage mich gerade an was es liegen könnte.

kann es sein dass ich den falschen Standardvektor genommen habe? ich dachte zumindest es sei egal was für einen Vektor ich nehme, und es zählt nur dass er linear unabhängig vom ersten ist.

ist dieBasis die ich durch durch gram-Schmidt konstruiere eigentlich eindeutig?



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InOMatrix
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Dabei seit: 17.04.2019
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Aus: Berlin, Deutschland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-15


Hallo Bubble123,

Wenn ich das richtig verstanden habe, hast Du eine Matrix \((v_1,v_2,v_3)\) mit \(v_1,v_2,v_3\in\)?. Dann sei ferner einer der Vektoren linear abhängig, meinst Du, dass sich einer der Vektoren als Linearkombination der anderen beiden darstellen lässt? Im Allgemeinen bezeichnet man ja das gesamte System dann als linear abhhängig, trifft das auf einen einzelnen Vektor \(v_i\) zu, so folgt \(v_i=0\).

Wie lautet denn die Aufgabenstellung? Ein Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren an den drei Vektoren durchzuführen macht erstmal nur Sinn, wenn die Vektoren linear unabhängig sind.

Zu Deiner anderen Frage:
Eine Orthonormalbasis ist im Allgemeinen nicht eindeutig; betrachten wir \(\mathbb{R}^2\), das Standardskalarprodukt, so ist die Standardbasis \(e_1,e_2\) eine Orthonormalbasis, sowie aber auch die Vektoren \(e_1+e_2,e_1-e_2\), wenn wir sie normieren würden.

Gruß,

InOMatrix



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Bubble123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-15


Vielen Dank schon einmal für die Erklärung zur Eindeutigkeit.
Ja die Vektoren sind Elemente des R3. Die drei Vektoren spannen aber einen Unterraum auf, d.h es kann ja auch sein, dass es die Orthonormalbasis niedrigere Dimension hat (ich hoffe das habe ich richtig verstanden).
Und ja also das System ist linear abhängig. Ich habe nicht bestimmt welcher, weil ich dachte das sei unwichtig. Das heisst ich habe nur die Determinante berechnet. Die war gleich 0. Dann habe ich durch Gaussen gemerkt, dass es eine Nullzeile gibt.
Am Ende sollte ich glaube dann eine 2-dim. ONB erhalten.




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InOMatrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-15


Dann macht es vielleicht doch Sinn, einen Vektor \(v_i\) ausfindig zu machen, der sich als Linearkomb. der anderen darst. lässt. Denn dann weißt Du, dass \(\mathrm{span}\{v_1,v_2,v_3\}=\mathrm{span}(\{v_1,v_2,v_3\}\setminus\{v_i\})\).

Dann kannst Du, wie Du schon angedeutet hattest, einen der verbleibenden beiden Vektoren normieren. Auf den anderen Vektor kannst Du dann gewohnt das Orthonormalisierungsverfahren anwenden. Dazu musst Du keinen weiteren Vektor, wie einen Standardbasisvektor hinzunehmen. Unter Umständen ergibt sich nämlich auch ein anderer Raum.



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Bubble123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-15


Ich verstehe was du meinst. Aber es fällt mir gerade schwer linear abhängigen ausfindig zu machen weil das bei grösseren zahlen ziemlich lange dauert und ausserdem kann es nicht auch sein dass zum Beispiel v1 eine linearkombi von v2 und v3 ist und gleichzeitig v2 eine linearkombi von v1 und v3  und es dann ja nicht eindeutig ist welcher genau „der“ linear unabhängige ist?



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InOMatrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-16


Ja, es reicht ja auch aus, einen ausfindig zu machen.

Ein Ansatz ist zum Beispiel \(v_1=\lambda v_2+\mu v_3\). Hat einer der Vektoren \(v_2,v_3\) eine Null als Eintrag, findet man schnell den einen Skalar heraus, und damit kann man leicht nachprüfen, ob \(v_1\) darstellbar ist. Beispiel: Angenommen, es gibt \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) mit
\[\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\] Dann hat der Vektor mit dem Skalar \(\lambda\) davor in der zweiten Komponente den Eintrag \(=0\), es folgt \(\mu=2\). Damit erhalten wir
\[\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{pmatrix}-1\\0\\-3\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix},\] und offensichtlich ist die Gleichung für \(\lambda=-1\) erfüllt.

Wenn keiner der Vektoren einen Nulleintrag hat, ist es ein wenig aufwändiger. Dann müsstest Du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten aufstellen, nach dem obigen Prinzip. Ist dieses dann lösbar, hast Du die Skalare herausbekommen und den Vektor, der sich darstellen lässt.

Vielleicht kannst Du die Vektoren mal schicken, die in der Aufgabe gestellt sind.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-06-16


Es ist ürbigens für die Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens nicht erforderlich, die gegebene Menge von Vektoren erst so weit auszudünnen, dass sie linear unabhängig ist. Linear abhängige Vektoren führen lediglich dazu, dass das Verfahren im Ergebnis ab und zu einen Nullvektor liefert, den man dann einfach ignorieren kann.



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InOMatrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-16


Oh, sie einer an das wusste ich noch nicht. Wieder etwas Neues gelernt, dann kannst Du wohl ganz regulär das Verfahren anwenden, tut mir Leid für den etwas unnötigen Schritt.



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Bubble123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-16


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InOMatrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-06-16


Dann kannst Du ja schon starten. Ich würde zum Beispiel zuerst \(\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) wählen. Dann nehmen wir zum Beispiel den dritten Vektor und führen den Algorithmus durch, d.h. wir berechnen konkret
\[\begin{pmatrix}3\\7\\-4\end{pmatrix}-\left\langle\begin{pmatrix}3\\7\\-4\end{pmatrix},\frac{1}{6}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\right\rangle\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix},\] wie es der Algorithmus vorgibt.

Je nachdem, was das Ergebnis ist, können wir nun überlegen, ob wir noch einen dritten Vektor berechnen müssen oder nicht (das ergibt sich zum Beispiel aus Deiner Vorarbeit und dem Beitrag von zippy).



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