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Mathematik » Stochastik und Statistik » Zufallsvariable definieren
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Schule Zufallsvariable definieren
SheepLon
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-16


Hallo,

ich habe eine Hausaufgabe und komme damit nicht ganz zurecht. Wir sollen für folgendes Problem eine Zufallsvariable, Ergebnisraum und Wahrscheinlichkeitsmaß angeben:

Wir beobachten eine Person, die unter Laplacebedingungen entweder einen Schritt nach links (-1) oder Schritte (+1) nach rechts macht. Er soll n Schritte gehen und X soll unsere ZV sein.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-16


Hallo und herzlich Willkommen hier auf Matroids Matheplanet!

was ist dir denn selbst schon eingefallen? Wir erarbeiten hier die Lösungen solcher Aufgaben gemeinsam, und das beginnt in aller Regel mit den Überlegungen des Themenstarters.  smile

2019-06-16 12:20 - SheepLon im Themenstart schreibt:
ich habe eine Hausaufgabe und komme damit nicht ganz zurecht. Wir sollen für folgendes Problem eine Zufallsvariable, Ergebnisraum und Wahrscheinlichkeitsmaß angeben:

Wir beobachten eine Person, die unter Laplacebedingungen entweder einen Schritt nach links (-1) oder Schritte (+1) nach rechts macht. Er soll n Schritte gehen und X soll unsere ZV sein.

Was wäre wohl eine sinnvolle Zufallsvariable? Wie das Wetter nach n Schritten ist, oder wie weit man gekommen ist?  wink

Und davon ausgehend kannst du dir dann einen Ergebnisraum überlegen, bei dem es eigentlich nur eine gedankliche Klippe gibt.


Gruß, Diophant



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SheepLon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-16


Also ich denke, dass ich schon alle Informationen habe. Nur diese Zeichen mit Das bildet auf dem mit Omega Ereignis usw. verwirrt mich schlichtweg. Wir brauchen also ein geeignete ($\Omega, \mathbb{A}, \mathbb{P}$)

Da wir nur zwei Ereignisse haben gilt für $\Omega$:
$\Omega = \{-1,1\}$

Wir können sagen, das wir für $j=1,2,...$ den $j$-Schritt mit der ZV $X_j$ modellieren.
Dann gilt wegen LaPlace für $\mathbb{P}$

$\mathbb{P}(X_j=-1)=\mathbb{P}(X_j=1)=1/2$

Aber jetzt fehlt noch das $\mathbb{A}$ und diese komische Zuordnungsschreibweise


Und Wetter macht keinen Sinn. Aber wir könnten uns noch ein $S$ definieren mit:

Wir setzen $S_0 :=0$ sowie für n≥1
$S_n := X_1 +X_2 +...+X_n$

Und $S_n$ gibt uns dann die Position nach n Schritten an



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

hm, bist du sicher, dass du die Aufgabe richtig verstanden hast und

2019-06-16 12:39 - SheepLon in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber jetzt fehlt noch das $\mathbb{A}$ und diese komische Zuordnungsschreibweise

sie hier ernsthaft besprechen möchtest?

Ich gebe dir mal noch einen Tipp: in deinen bisherigen Überlegungen kommt nirgends die Schrittanzahl n vor.

Die Zufallsvariable X soll hier offensichtlich beschreiben, um wie viele Schrittweiten man nach n Schritten nach rechts bzw. nach links gekommen ist.

Und dafür benötigst du zunächst einen Ergebnisraum.


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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SheepLon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-16


Also ich habe es so verstanden. Ich stelle mir zunächst eine Folge $(X_n)_{n\geq0}$. Die sieht dann so aus:

$X=\{X_0,X_1,...,X_n\}$

und jeder dieser Schritte bzw. der j-Schritt 0<= j <= n wird wie oben beschrieben.

Und $S_n$ gibt mir dann das, was du geschrieben hast.

und X kommt dann irgendwo aus $\Omega^n = \{-1,1\}^n$


EDIT: Und die Schrittzahl kommt ja indirekt vor.

Mit n weiß ich, wie viele Schritte er gemacht hat. Und $S_n$ verrät mir die Position. Damit lässt sich der Rest errechnen



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-06-16 12:50 - SheepLon in Beitrag No. 4 schreibt:
Damit lässt sich der Rest errechnen

Aber genau das ist doch die eigentliche Aufgabe.

Das ist ein stochastischer Prozess, der allgemein unter dem Namen Symmetrische einfache Irrfahrt bekannt ist. Im Themenstart schreibst du weiter:

2019-06-16 12:20 - SheepLon im Themenstart schreibt:
Wir sollen für folgendes Problem eine Zufallsvariable, Ergebnisraum und Wahrscheinlichkeitsmaß angeben...

Dann ist für mich klar, dass es sich um diejenige Zufallsvariable handelt, die du \(S_n\) nennst.

Mir ist es ganz egal, wie diese Zufallsvariable jetzt heißen soll. Aber rein semantisch gesehen geht es bei deiner Frage um Ergebnisraum und Wahrscheinlichkeitsmaß für diese Zufallsvariable \(S_n\) und von daher verstehe ich den Sinn dieses Geplänkels nicht, das du hier (bisher) veranstaltest.

Fertige Lösungen werden hier i.a. nicht gegeben.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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SheepLon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-16


Tut mir leid wenn ich dich verärgert habe. Aber wir haben mit dem Thema gerade erst begonnen und direkt eine Hausaufgabe bekommen. Du wolltest doch erstmal hören, wie ich daran gegangen bin und was ich bisher habe und dann intervenierst du direkt meine Ergebnisse.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-06-16 13:24 - SheepLon in Beitrag No. 6 schreibt:
Tut mir leid wenn ich dich verärgert habe. Aber wir haben mit dem Thema gerade erst begonnen und direkt eine Hausaufgabe bekommen. Du wolltest doch erstmal hören, wie ich daran gegangen bin und was ich bisher habe und dann intervenierst du direkt meine Ergebnisse.

Ich bin nicht verärgert (das sieht dann anders aus  wink ). Ich wollte nur darauf hinarbeiten, zum eigentlichen Problem zu kommen, um das es geht.

Und das geht damit los, dass du jetzt einen Ergebnisraum für diejenige Zufallsvariable benötigst, die du mit \(S_n\) bezeichnet hast (und gegen diese Bezeichnung spricht eigentlich nichts bis auf die Tatsache, dass im Themenstart der Name \(X\) vorgegeben ist).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
tobit09
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-06-17


Hallo zusammen,

leider wurde die Aufgabe nicht wörtlich wiedergegeben, aber ich vermute, dass SheepLon völlig richtig liegt und hier nicht nach irgendwelchen Rechnungen gefragt ist.

Gesucht sind demnach:

1. Ein Ergebnisraum $\Omega$ zur Beschreibung des Zufallsexperiments. Hier hast du, SheepLon letztlich völlig richtig die Wahl $\Omega=\{-1,1\}^n$ getroffen. Im Falle n=3 steht z.B. das Ergebnis (-1,1,1) für die Bewegungsabfolge "zunächst ein Schritt nach links, dann zwei Schritte nach rechts". Allgemein steht ein Element $(\omega_1,\ldots,\omega_n)$ von $\Omega$ für den Ausgang des Zufallsexperiments, in dem der i-te Schritt gemäß $\omega_i$ nach links (-1) bzw. rechts (1) erfolgt (für $i=1,\ldots,n$).

2. Falls eine Sigma-Algebra $\mathbb{A}$ auf $\Omega$ gesucht ist, würde ich bei endlichen oder abzählbar unendlichen Ergebnisräumen normalerweise immer die Potenzmenge auf $\Omega$ wählen, damit JEDE Teilmenge von $\Omega$ ein zulässiges Ereignis ist.

3. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(\Omega,\mathbb{A})$. Hier würde ich die Beschreibung des Zufallsexperiments so interpretieren, dass wir eine Laplace-Verteilung über $\Omega$ annehmen dürfen, also $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ für alle $A\in\mathbb{A}$. (Wie lautet $|\Omega|$?)

4. Eine Zufallsvariable $S_n$, die die Position nach den n Schritten beschreibt. Eine Möglichkeit dazu ist $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ zu definieren, wie du SheepLon es getan hast, wobei $X_i$ für die Zufallsvariable stehe, die -1 oder 1 ist, je nach dem, ob der i-te Schritt nach links oder rechts erfolgt. Es fehlt nun nur noch die mathematische Definition der $X_i$ als Abbildung.

Gesucht ist also eine Abbildung $X_i$, die jedem Ergebnis $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_n)\in\Omega$ den Wert zuordnet, den $X_i$ annehmen soll, wenn das Zufallsexperiment den Ausgang $\omega$ hat.

Betrachte z.B. erst einmal für das Verständnis das Beispiel $n=3$ und $\omega=(-1,1,1)$. Dann sollen also $X_1(\omega)=\ldots$, $X_2(\omega)=\ldots$ und $X_3(\omega)=\ldots$ wie lauten?

Verallgemeinern wir dies nun ein Stück weit, indem wir n=3 beibehalten, aber ein beliebiges $\omega=(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\in\Omega$ betrachten: Wie lauten dann $X_1(\omega)=X_1((\omega_1,\omega_2,\omega_3))=\ldots$, $X_2(\omega)=X_2((\omega_1,\omega_2,\omega_3))=\ldots$, $X_3(\omega)=X_3((\omega_1,\omega_2,\omega_3))=\ldots$.

Schließlich können wir nach diesen Vorüberlegungen für beliebiges n und beliebiges $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_n)$ definieren: $X_i(\omega)=X_i((\omega_1,\ldots,\omega_n))=\ldots$.

Insgesamt erhalten wir so eine ($\mathbb{A}-\mathbb{B}$-messbare) Abbildung $X_i\colon\Omega\to\mathbb{R}$ (mit $\mathbb{B}$ meine ich die übliche Borelsche Sigma-Algebra auf $\mathbb{R}$).

Viele Grüße
Tobias



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