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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Beweis: Arithmetisches Mittel größer-gleich geometrisches Mittel.
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Autor
Universität/Hochschule Beweis: Arithmetisches Mittel größer-gleich geometrisches Mittel.
3r0rxx
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.11.2018
Mitteilungen: 20
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-17


Satz:
\[\overline{\textit{x}}_{geom} \leqslant \overline{\textit{x}}\]
Mein Beweisversuch:

\[(a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{n} \cdot (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n})\]
\[(a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{1}{n} \cdot (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) | :\frac{1}{n} \cdot (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n})\]
\[\frac{(a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n})^{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n} \cdot (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n})} \leq 1\]
\[\textit{Let r = (} a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n})\] und
\[\textit{Let s = (} a_{1} + a_{2} + ... + a_{n})\]
\[\frac{r^{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n} \cdot s} \leq 1\]

Und ab hier l'hospital-Regel anwenden, also mit:

\[f(n) = r^{\frac{1}{n}}\]
und

\[g(n) = \frac{1}{n} \cdot s\]

Die Ableitungen:
\[f'(n) = \frac{-\ln(r) \cdot r^{\frac{1}{n}}}{n^{2}}\] und
\[g'(n) = -\frac{1}{n^{2}} \cdot s\]
Damit ergibt sich:
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{\frac{-\ln(r) \cdot r^{\frac{1}{n}}}{n^{2}}}{-\frac{1}{n^{2}} \cdot s}}\]
Also:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{-\ln (r) \cdot r^{\frac{1}{n}}}{-\frac{1}{n^{2}} \cdot s \cdot n^{2}}}\]
und damit:
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{-\ln (r) \cdot r^{\frac{1}{n}}}{-s}}\]
und daraus:
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{\ln (r) \cdot r^{\frac{1}{n}}}{s}}\]
Der Ausdruck:
\[r^{\frac{1}{n}}\] wird 1, und damit bleibt übrig:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{\ln (r)}{s}}\]
Jetzt bin ich so vorgegangen:

Ich habe gesagt, ich lasse r und s gegen unendlich laufen; danach erneut l'hospital anwenden, am Ende bleibt folglich übrig:

\[\lim\limits_{r, s \rightarrow \infty }{\frac{\ln (r)}{s}}\]
\[\lim\limits_{r, s \rightarrow \infty }{\frac{\frac{1}{r}}{1}}\]
und schlussendlich:
\[0 \leq 1\]
Ist das überhaupt so legitim?

Lieben Dank und Grüße.
_



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H4nsus
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 23.05.2019
Mitteilungen: 13
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-17


Hey,

bin deinen Beweis grade überflogen.
Weiß nicht ob man das irgendwie so zeigen kann...

Aber

fed-Code einblenden

hierauf kannst du mMn nicht die l'Hospital Regel anwenden, da der Zähler gegen 1 strebt.

Gruß



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5986
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-17


Man kann die  l'hospital-Regel _nicht_ anwenden, da n eine Konstante ist.

Irgendeinen Grenzwert für n gegen unendlich zu betrachten ist daher nicht hilfreich.

Ist schon lange her, dass ich das selbst mal bewiesen habe. Ich glaube mit Vorwärts-Rückwärts-Induktion.

Kannst Du Beweisen, dass die Behauptung für n=2 gilt?

Kannst Du Beweisen, dass die Behauptung für n=2k gilt, wenn sie bereits für n=k gilt?

Kannst Du Beweisen, dass die Behauptung für n=k-1 (sic!) gilt, wenn sie bereits für n=k gilt?






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3r0rxx
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.11.2018
Mitteilungen: 20
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-17


Stimmt natürlich, ihr habt recht.

Ich schaue mir das mal nochmal an, wenn ich die Zeit dazu finde.
Lieben Dank soweit.



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1604
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-17

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

es gibt einen Beweis der Ungleichung (sogar einer Verallgemeinerung), in dem die Regel von de l’Hospital angewendet wird:

Betrachte die Funktion
\[f:\IR\setminus\{0\}\to \IR, x\mapsto \left(\frac{a_1^x+\ldots +a_n^x}n\right)^{\frac 1x}.\]
Zeige, dass diese Funktion auf $\IR_{>0}$ und auf $\IR_{<0}$ monoton wächst (bin mir gerade nicht ganz sicher, wie man das zeigt, aber vermutlich bekommt man es mit der Ableitung hin).

Zeige dann, dass $f$ sich in $0$ stetig fortsetzen lässt, indem man $f(0)= \sqrt[n]{a_1\ldots a_n}$ definiert.
Hierzu schreibt man $f(x)$ in der Form $f(x) = e^{\ln( f(x))}$ und wendet dann für $x\to 0$ im Exponenten de l'Hospital an.
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5986
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-18


Die von Nuramon erwähnte Tatsache, dass $f$ monoton wachsend ist, wird auch als Potenzmittel-Ungleichung bezeichnet -- siehe hier, dritter Punkt unter Eigenschaften.



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