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Funktionentheorie » Holomorphie » Biholomorphe Abbildungen
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Universität/Hochschule J Biholomorphe Abbildungen
erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-18


Hallo, vor einiger Zeit haben wir in der Vorlesung biholomorphe Abbildungen behandelt und da in einigen Wochen meine Prüfung ist, habe ich mir dazu noch einmal ein paar Aufgaben angeschaut und habe festgestellt, dass ich mit dem zeigen, dass eine Abbildung zwischen zwei "besonderen" Mengen biholomorph ist bzw. eine solche Abbildung explizit anzugeben manchmal so meine Probleme habe.

Zum Beispiel habe ich folgende zwei Aufgaben in einer Aufgabensammlung gefunden:

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Bei der ersten Aufgabe hätte ich gedacht, dass ich "einfach" die einzelnen Punkte abarbeite:

1) Holomorphie:
Der Quotient zweier holomorpher Funktionen g/h ist wieder holomorph, zu überprüfunen ist lediglich die Nullstellenmenge von h, sowie die Menge der Singulärwerte von h. Allerdings hat in dieser Aufgabe h weder Nullstellen noch Singulärwerte auf der betrachteten Menge. D.h. Holomorphie ist klar.

2) Holomorphe Umkehrabbildung

Die Umkehrabbildung ist gegeben durch:

fed-Code einblenden

Diese ist nach der obigen Argumentation auch wieder holomorph.

3) Bijektivität
3)1) Injektivität:

fed-Code einblenden

D.h. Injektivität ist auch klar. Mein Problem ist zu zeigen, dass f auf der betrachteten Zielmenge surjektiv ist. Gibt es dafür eine einfach Methode? Oder gibt es generell einen besseren Weg zu zeigen, dass eine Abbildung zwischen zwei gegebenen Mengen biholomorph ist?

Bei der 2) Aufgabe habe ich bis jetzt keine Idee die mich richtig weiterbringt um ehrlich zu sein (außer mehr oder minder wildes Ausprobieren/Raten).



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-19

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\newcommand{\scal}[2]{\sc{#1}{\!#2}} \newcommand{\ov}[2]{\begin{matrix}#1 \\ #2\end{matrix}} \)
Was bedeutet $\mathbb{D}$? Die Einheitsscheibe?
Die Aussage ist nicht korrekt.
Es gilt $z=\frac{3}{5}+i\frac{4}{5}\in\{x+iy\in \mathbb{D}\mid y>0\}$. Jetzt rechnet man $f(z)=2i$ nach. Es gilt $\mathfrak{Re}(2i)=0$. Das stimmt mit der Aussage nicht überein.



-----------------
Poincaré and Erdős went to an étalé party at Čech's
with an adèle and an étale as gifts. Čech was happy.
\(\endgroup\)


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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-20


Die Argumentation verstehe ich leider nicht. Könntest du diese noch einmal ein bisschen ausführen?



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-20


Oder gibt es generell einen besseren Weg zu zeigen, dass eine Abbildung zwischen zwei gegebenen Mengen biholomorph ist?

Wenn Du biholomorph zeigen möchstet, gibt es ein relativ einfaches Kriterium. Falls $f:U\to V$, $g:V\to U$ holomorph und $f\circ g = id_V$ und $g\circ f = id_U$ gilt, sind $f,g$ biholomorph.

In Deinem Beispiel kannst Du die Umkehrabbildung angeben. $Y:=\{z\in\IC:Re(z)>0\land Im(z)>0\}$. Im wesentlichen mußt Du dann nur noch $f(\mathbb{D})\subset Y$ und $g(Y)\subset \mathbb{D}$ zeigen.



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-20


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-06-20


Sorry, habe $y>0$ vergessen. Daher sollte in der Bedingung natürlich $\mathbb{D}\cap\{z\in\IC:Im(z)>0\}$ stehen und nicht $\mathbb{D}$.


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Was meinst Du damit? Die Bedingung $y=0$ sehe ich jetzt zum ersten Mal.



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-20

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Ich bin fest davon überzeugt, dass die Aussage falsch ist. Auch wenn mit $\mathbb{D}$ die EInheitsscheibe gemeint ist, was ich schon vermutet hatte (Ich wollte nur nochmal nachhaken.)
Wie gesagt.
$z=\frac{3}{5}+i\frac{4}{5}$ ist eine Komplexe Zahl in der Menge
$\{x+iy\in \mathbb{D}\mid y>0\}$. Das Bild $f(z)=2i$ ist aber

nicht

in der Menge $\{x+iy\in \C\mid x>0,y>0\}$ enthalten, da $x=\mathfrak{Re(2i)}=0$ gilt.

Deshalb die Frage an den Themensteller, ob es vielleicht $x\geq 0$ sein sollte?
\(\endgroup\)


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TomTom314
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Aber $|z|=|\frac{3}{5}+i\frac{4}{5}| = 1$, also $z\in \partial\mathbb{D}$ und $f(z)\in \partial\{x+iy\in \IC\mid x>0,y>0\}$. Das ist doch ok???



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xiao_shi_tou_
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2019-06-20 12:18 - TomTom314 in Beitrag No. 8 schreibt:
Aber $|z|=|\frac{3}{5}+i\frac{4}{5}| = 1$, also $z\in \partial\mathbb{D}$ und $f(z)\in \partial\{x+iy\in \IC\mid x>0,y>0\}$. Das ist doch ok???

Naja. Wie ist die Definition von "$f$ ist eine biholomorphe Funktion zwischen $A$ und $B$"?

Ich dachte es muss mindestens $f$ eine Funktion von $A$ nach $B$ sein, also $f(A)\subseteq B$ muss gelten.

In der Aufgabe ist ja $f$ nicht einmal eine Funktion von $A$ nach $B$.

Ist es üblich, dass man auf den topologischen Abschluss übergeht?

Aber dann hätte man gleich $x\geq 0$ schreiben können...

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TomTom314
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Sorry, ich verstehe nicht worauf Du hinaus möchtest. Hier ist sinnvollerweise $\mathbb{D}:=\{z\in\IC:|z|<1\}$ definiert. Die Topologen nehmen dagegen lieber $\mathbb{D}:=\{z\in\IC:|z|\leq 1\}$.



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2019-06-20 12:27 - TomTom314 in Beitrag No. 10 schreibt:
Sorry, ich verstehe nicht worauf Du hinaus möchtest. Hier ist sinnvollerweise $\mathbb{D}:=\{z\in\IC:|z|<1\}$ definiert. Die Topologen nehmen dagegen lieber $\mathbb{D}:=\{z\in\IC:|z|\leq 1\}$.
Ok. Dann gibt es kein Problem.
Ich kenne die Definition
$\mathbb{D}=\{z\in\C\colon \abs{z}\leq 1\}$.

In diesem Fall muss man ja nur nachrechnen, dass $z\in A$ genau dann wenn $f(z)\in B$. ($A,B$ die offensichtlichen Mengen aus dem Startbeitrag). Das ist nicht schwer nachzurechnen.


Danke TomTom für den Hinweis. Wir hatten verschiedene Definitionen benützt.

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2019-06-20 06:44 - erik92 in Beitrag No. 3 schreibt:
Die Argumentation verstehe ich leider nicht. Könntest du diese noch einmal ein bisschen ausführen?

Um Verwirrung zu vermeiden:
Mein Gegenbeispiel ist für den Fall $\mathbb{D}=\set{z\in \C}{\abs{z}\leq 1}$ gedacht. Da du aber $\mathbb{D}=\set{z\in \C}{\abs{z}<1}$ benützt gibt es kein Problem und das Gegenbeispiel ist auch keines mehr. Die Aussage der Aufgabe ist in korrekt.


\(\endgroup\)


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erik92
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TomTom314
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Noch einen für die Konventionen. Ich bevorzuge "$\subset$" in der Bedeutung, dass auch Gleichheit zugelassen wird, als $X\subset X$.

Also insbesondere muss hier keine Gleichheit vorliegen?
Die Gleichheit ergibt sich aus $f\circ g = id_V$ und $g\circ f = id_U$.

Allgemein gilt für Abbildung von Mengen $X\xrightarrow{a}Y\xrightarrow{b}Z$:
1) $b\circ a$ surjektive $\Rightarrow b$ surjektiv.
1) $b\circ a$ injektiv $\Rightarrow a$ injektiv.
Das kannst Du mit den Definitionen nachrechnen.



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erik92
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Eine Frage nochmal zu meiner einen Theorie.
Kann ich von dem Urbild der Umkehrabbildung auf das Bild der Abbildung schließen?
Da ich das Urbild der Umkehrabbildung ja kenne, könnte ich so auf das Bild der Abbildung schließen. Da nun jede Abbildung surjektiv auf ihrem Bild ist, ist auch jede Abbildung surjektiv auf jeder nicht leeren Teilmenge des Bildes.
Wenn ich dann noch Injektivität auf dem Bild zeigen könnte (was ich hier kann), hätte ich Bijektivität gezeigt.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]



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TomTom314
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So ganz kann ich Dir nicht folgen. Ich glaube, die Antwort zu Deinen Fragen findest Du in den Aussagen zu injektiv/surjektiv aus #14.



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erik92
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Meine Frage ist ganz allgemein ob folgende Aussage korrekt ist.

Angenommen ich hab eine Abbildung f. Nun möchte ich überprüfen, ob f auf einen bestimmten Bereich surjektiv abbildet.
Finde ich nun für diesem Bereich eine Umkehrabbildung zu f, dann muss f auf diesem Bereich surjektiv sein.

Argumentation:
Da ich jeden Punkt der Zielmenge mittels der Umkehrabbildung wieder zurück auf die Ursprungsmenge abbilden kann, muss jeder Punkt der Zielmenge mindestens einmal von meiner Abbildung f "getroffen" werden. Woraus Surjektivität folgen würde.

Anders gesagt:

f:A->B. Ex. nun eine Umkehrabbildung g zu f mit g:B->A und g verknüpft mit f ist die Identität, dann bildet f surjektiv auf B ab.

Falls das stimmt fände ich diese Methode am einfachsten um zu zeigen, ob eine Abbildung biholomorph ist, da die Umkehrabbildung zu finden oft nicht schwer ist, ich aus dem finden der Umkehrabbildung bereits Surjektivität folgern könnte und zuletzt nur noch zu zeigen ist, dass meine Abbildung injektiv ist, was i.d.R. auch sehr leicht ist.

Wenn ich deinen Post oben richtig verstehe, passt das auch dazu. Sicher bin ich mir aber nicht, da dies vorallem viele Dinge sehr einfach machen würde.



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TomTom314
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Bei dem Begriff Umkehrabbildung muß man etwas vorsichtig sein. Ein reelles Beispiel: $f:\IR^2\to\IR;(x,y)\mapsto x$, $g:\IR\to\IR^2;x\mapsto (x,0)$. Dann haben wir eine einseitige Umkehrabbildung, da $f\circ g= id_\IR$. Aus $f\circ g= id_\IR$ folgt dann $f$ surjektiv und $g$ injektiv. Über $g\circ f$ können wir aber nichts besonders sinnvolles aussagen.



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erik92
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TomTom314
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Die Idee ist richtig, aber es fehlt noch ein Stück. 1/16-Kreis -> 1/2-Kreis -> 1/4-Ebene -> 1/2-Ebene -> Einheitskreis.

$\frac{z+i}{z-i}$ bildet nur den Einheitkreis auf eine Halbeben ab - auf die Richtung und welche Halbeben möchte ich mich gerade nicht festlegen.



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erik92
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erik92
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