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Mathematik » Stochastik und Statistik » Random Walk - Übergangsmatrix, stationärer Zustand und Periodizität
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Universität/Hochschule Random Walk - Übergangsmatrix, stationärer Zustand und Periodizität
kingdingeling
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.09.2017
Mitteilungen: 471
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-18


Liebe Mitglieder,

ich habe einige Schwierigkeiten das folgende Problem zu verstehen und zu lösen:

Sei der Prozess $(X_t)_{t∈\mathbb{N}}$ gegeben durch  $X_0 = 0$ und der Übergangsgraph



(i) Wie erhalte ich die Übergangsmatrix des Prozesses? Gibt es einen stationären Zustand für alle $p ∈ [0, 1]$? Wie erhalte ich den stationären Zustand für $p = \frac{1}{2}$ falls dieser existiert?

(ii) Angenommen dass man die Grenzbedingung zur Absorptionsbedingung ändert, also
$$
\mathbb{P}(X_t =3|X_{t−1} =3)=\mathbb{P}(X_t =−3|X_{t−1} =−3)=1
$$
oder zur periodischen Bedingung, also
$$
\mathbb{P}(X_t =3|X_{t−1} = -3)=\mathbb{P}(X_t =−3|X_{t−1} =3)=p
$$

was ändert sich dann bei (i)?

Wie immer bin ich euch extrem dankbar für eure Hilfe!

Liebe Grüße, KingDingeling



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1451
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-19

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

fangen wir mal mit der Teilaufgabe i) an. Klar ist, es muss eine \(7x7\)-Matrix sein. Jetzt musst du einfach Zeilen und Spalten entsprechend durchnummerieren und dann für die Zahl, wo du dich gerade befindest, die entsprechende Spalte wählen und in die zu den beiden möglichen Nachbarplätzen gehörenden Zeilen dort die Wahrscheinlichkeiten \(p\) bzw. \(1-p\) eintragen (alle anderen Einträge der Matrix sind mit Nullen belegt).

Stationäre Zustände kann es hier doch eigentlich nur für \(p=0\) oder \(p=1\) geben, oder übersehe ich etwas?

EDIT: das war ein Irrtum. Siehe dazu die Beiträge von AnnaKath.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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gonz
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Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 3117
Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-19


Hallo zusammen :)

Damit ein stationäre Zustand vorliegt, muß an jedem Übergang der Fluß von rechts nach links gleich dem umgekehrten Fluß sein (da jeder Übergang das Gesamtgebilde in zwei Hälften teilt und damit rechts wie links dieselbe Summe der Gesamtbelegung erhalten bleiben muß).

Das ist dann gegeben, wenn die Aufenthaltswahrscheinlichkeit links und rechts vom Knoten sich umgekehrt zu der Übergangswahrscheinlichkeit p und 1-p verhalten.

Damit ergibt sich zwischen je zwei Knoten immer derselbe Faktor. Man hat damit einen Knoten frei, den man benutzen kann, um auf die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 zu normieren.

Das sollte für jeden Wert von p funktionieren. Die den Knoten zugewiesenen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten bilden damit eine geometrische Reihe, was die Berechnung der Summe recht einfach gestaltet.

Grüße aus dem Harz
Gerhard / Gonz


-----------------
- das alles muss weg. (Meister Eckhart von Hochheim)



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kingdingeling
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.09.2017
Mitteilungen: 471
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-20


Vielen Dank an euch beide füre eure Hilfe!



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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3176
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-20


Huhu zusammen,

leider kann ich das bisher Gesagte so nicht stehen lassen, denn ist m.E.n. falsch.

Eine kleine Anmerkung vorweg: Einen "stationären Zustand" finde ich einen etwas irreführenden Begriff, üblicherweise bezeichnet man ja den Bildraum $S$ jedes $X_t$ als Zustandsraum und dessen Elemente als Zustände. Ein "stationärer Zustand" wäre dann ein $s\in S$ mit $\mathbb{P}(X_{t+u}=s|X_t=s)=1$ also das, was man üblicherweise einen absorbierenden Zustand nennt.
Mir ist natürlich klar, dass vom einem Zustand der gesamten Markow-Kette gesprochen wird, um die Verwirrung zu vermeiden spreche ich lieber im Folgenden von einer stationären Verteilung.

Nun zur eigentlichen Aufgabe:

Für $p\in \{0,1\}$ "entartet" die Markow-Kette; jeweils ein Zustand wird absorbierend, die anderen sind transient und die stationäre Verteilung, die natürlich in dieser Situation existiert, ist schlicht eine Diracverteilung in $-3$ (für $p=1$) bzw. in $3$.

Betrachten wir nun $p \in (0,1)$. Bezeichnen wir mit $P$ die (zeilenstochastische) Übergangsmatrix der Kette. Eine Verteilung über (dem endlichen) $S$, beschrieben als (Zeilen-)Vektor $\pi^T \in [0,1]^{|S|}$, ist dann stationär, falls $\pi P = \pi$. Das ist genau das, was gonz beschrieben hat - in jeden Zustand fliesst gleich viel Wahrscheinlichkeitsmasse hinein wie abfliesst.

Löst man das entstehende $7\times 7$-Gleichungssystem, so erhält man sukzessive $\pi_3=\pi_2, \ldots, \pi_{-2}=\pi_{-3}$ sowie $\pi_{-3}=2p \pi_{-3}$.
Letztere Gleichung ist nur* für $p=\frac 1 2$ zu erfüllen und mit $\pi_{-3} + \ldots + \pi_3=1$ folgt dann $\pi_j=\frac 1 7$ für $j=-3, \ldots 3$.

lg, AK.

*) oder durch $\pi_{-3}=0$ zu erfüllen, dies ist aber ausgeschlossen (Warum?).



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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3176
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-20


Und vielleicht noch ein Nachtrag zu Teilaufgabe (ii):

Werden die "Randbedingungen" geändert so ergeben sich folgende Situationen:

Werden die Zustände $-3$ und $3$ absorbierend, so gibt es unendlich viele  stationäre Verteilung (und zwar unabhängig von $p$). Dies sind einfach alle Konvexkombinationen aus $\delta_{-3}$ und $\delta_3$, d.h. alle Verteilungen der Form $\pi=(\lambda, 0, \ldots, 0, 1-\lambda)$ mit $\lambda\in [0,1]$.

Wird die Markow-Kette dagegen mit periodischen Randbedingungen ausgestattet, so existiert für jedes $p\in [0,1]$ genau eine stationäre Verteilung, denn die Markovkette ist dann aperiodisch, irreduzibel und positiv rekurrent. Welche Verteilung dies ist dürfte nach einem Blick auf (i) sofort klar sein.

lg, AK.



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-06-21


Hallo AnnaKath,

danke für deine ausführliche Erklärung!

@kingdingeling:
Beachte, dass die Übergangsmatrizen in meiner Version aus Beitrag #1 und die von AnnaKath sich unterscheiden: meine ist spaltenstochastisch (d.h.: die Spaltensummen sind gleich 1). AnnaKath macht es andersherum, also zeilenstochastisch (Zeilensummen gleich 1). Funktionieren tut beides, letztere Version ist aber offensichtlich die gängigere.


Gruß, Diophant



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AnnaKath
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Mitteilungen: 3176
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-06-23


Und nun noch einmal ein Nachtrag von mir...

Irgendwas habe ich falsch berechnet, natürlich gibt es auch in der Ausgangssituation für $p\in (0,1)$ eine stationäre Verteilung (die Kette ist immer noch aperiodisch, irreduzibel und positiv rekurrent).

Vermutlich sollte man die Matrix wirklich mal aufschreiben (aber $7$ Zeilen und Spalten sind mit entschieden zu viel...). Jedenfalls kann man grundsätzlich sicher einen (normierten) Eigenvektor zum Eigenwert $1$ der Matrix bestimmen...

Immerhin stimmen die qualitativen Aussagen und auch die stationäre Verteilung für $p=\frac 1 2$ ist korrekt.

lg, AK.



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syngola
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Mitteilungen: 2836
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-06-23


Hi,

eigentlich braucht man doch nur
\[\begin{cases}
\pi_i=(1-p)\pi_{i-1}+p\pi_{i+1},&i\not\in\{-3,3\}\\
\pi_{-3}=p(\pi_{-3}+\pi_{-2}),&i=-3\\
\pi_{3}=(1-p)(\pi_{3}+\pi_{2}),&i=3\\
\sum_{i=-3}^3\pi_i=1
\end{cases}
\]
Du bekommst direkt aus der 2.ten Formel \[\pi_{-2}=\frac {1-p}p\pi_{-3}\]
Du kannst dann die erste Formel sukzessive nutzen, um die anderen Komponenten der stationären Verteilung in $\pi_{-3}$ auszudrücken. Am Ende hilft Dir die Normierungseigenschaft (4.te Gleichung) der stationären Verteilung.

Der (Rechts)-Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist übrigens IMMER (1,1,1,1,1,...,1), da die Matrix stochastisch ist.

Im Fall $p=q$ ist übrigens nichts zu tun, denn für doppelt stochastische Matrizen ist die stationäre Verteilung stets die Gleichverteilung (hier der reversible Fall).


Wenn beide äußeren Ränder absorbierend sind, kann man einen Ansatz über harmonische Funktionen bekommen.

Gruß, Peter

PS: ein Suchmaschinenstichwort ist Random Walk mit reflektierenden Rändern.


-----------------
I know it's trivial, but i've forgotten why -- Allan Guth



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gonz
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 3117
Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-06-24


Genau. Und mit dem Ansatz

fed-Code einblenden





-----------------
- das alles muss weg. (Meister Eckhart von Hochheim)



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Diophant
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Mitteilungen: 1451
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-06-25 12:24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo zusammen,

2019-06-23 22:33 - AnnaKath in Beitrag No. 7 schreibt:
Vermutlich sollte man die Matrix wirklich mal aufschreiben (aber $7$ Zeilen und Spalten sind mit entschieden zu viel...).

hier mal noch die zeilenstochastische Version der Übergangsmatrix, für alle Fälle:

\[P=\bpm\
p&1-p&0&0&0&0&0\\
p&0&1-p&0&0&0&0\\
0&p&0&1-p&0&0&0\\
0&0&p&0&1-p&0&0\\
0&0&0&p&0&1-p&0\\
0&0&0&0&p&0&1-p\\
0&0&0&0&0&p&1-p\\
\epm\]

Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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