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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Differentialgleichung lösen und geometrische Form
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Universität/Hochschule Differentialgleichung lösen und geometrische Form
Hotweb
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.04.2019
Mitteilungen: 19
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-20


Guten Tag,

Ich habe aktuell folgende Aufgabe für Höhere Mathematik:

fed-Code einblenden

Zu (i):
   Ich habe nun folgende 4 Lösungen gefunden:
fed-Code einblenden

Wenn ich diese Dgl. allerdings bei WolframAlpha eingebe erhalte ich auch noch
fed-Code einblenden
Kann mir jemand sagen wie ich zu diesem Ergebnis kommen soll?

Zu (ii):
   Dort habe ich folgenden Lösungen:
fed-Code einblenden
Allerdings verstehe ich nicht was mit "geometrische Form der Lösungen" gemeint ist.


Schon mal vielen Dank im voraus.

MfG
Hotweb



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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2301
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-20


Hi,

zu (i): Du hast vermutlich irgendwo durch $\cos(y)$ geteilt. Dies geht aber nicht, wenn $y$ den Wert $-\frac{\pi}{2}$ (zum Beispiel direkt am Anfang) annimmt.

Zu (ii). Zeichne mal die Menge \[\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid y=\sqrt{1-x^2}\}= \{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1,y\geq 0\}\]



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1609
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-20


Hallo Hotweb,

deine Lösungen habe ich jetzt nicht kontrolliert. Wenn man das ganze nicht wie eine exakte DGL behandelt, dann kann man auch mittels Trennung der Variablen eine wesentlich einfachere Darstellung der Lösung bekommen, die u.a. als äußere Funktion den Arkussinus hat, nicht den Arkuskosinus.


Gruß, Diophant



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Hotweb
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.04.2019
Mitteilungen: 19
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-20


Vielen Dank für die schnellen Antowrten,
Wie meinst du das mit der nicht exakten dgl? Also wie wäre dann der Ansatz dazu?

Mit freundlichen Grüßen
Hotweb



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1609
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-21

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

es handelt sich ja um eine exakte DGL. Wie du zu deinen Lösungen gekommen bist, weiß ich nach wie vor nicht. ;-) Ich vermute mal, du hast es mit einer entsprechenden Methode gemacht, etwa über das Skalarpotential.

Man kann allerdings dieser DGL ein wenig 'die Luft raus lassen':

\[\ba
e^x(\sin(y)+1)+(e^x+1)\cos(y)y'&=0\quad\Leftrightarrow\\
\\
(e^x+1)\cos(y)y'&=-e^x(\sin(y)+1)\quad\Leftrightarrow\\
\\
\frac{\cos(y)}{\sin(y)+1}dy&=-\frac{e^x}{e^x+1}dx
\ea\]
Jetzt hast du auf beiden Seiten zwei völlig simple Integrale und anschließend löst man das ganze ebenso einfach per Arkussinus nach y auf.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Hotweb
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.04.2019
Mitteilungen: 19
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-21


Ich hab das jetzt mal so berechnet und bin auf das Ergebnis
fed-Code einblenden
gekommen. Diese Lösung stammt von WolframAlpha.
Ist dies nun einfach ein zusätzliches Ergebnis oder kann ich dies anstelle meiner anderen 4 als Lösung ansehen?

MfG
Hotweb

Edit:

Obwohl wenn ich mir die deine Gleichung angucke komme ich auf:
fed-Code einblenden



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1609
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-06-21

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

also ich komme irgendwie bei der Art, wie du da vorgehst, nicht so ganz mit. Zwar ist deine Lösung auch richtig, aber das geht viel einfacher:

\[\ba
\frac{\cos(y)}{\sin(y)+1}dy&=-\frac{e^x}{e^x+1}dx\quad\Leftrightarrow\\
\\
\ln\left|\sin(y)+1\right|&=-\ln\left(e^x+1\right)+\ln(C)=\ln\left(\frac{C}{e^x+1}\right),\ \text{(C>0)}\quad\Leftrightarrow\\
\\
sin(y)&=\frac{C}{e^x+1}-1\\
\\
y&=arcsin\left(\frac{C}{e^x+1}-1\right)
\ea\]
Das ist die allgemeine Lösung der obigen DGL. Wenn deine Lösungen stimmen, dann handelt es sich dabei einfach nur um andere Darstellungen dieser Lösung.

Nach wie vor hast du uns jedoch nicht verraten, was du da eigentlich gemacht hast...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Hotweb
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Mitteilungen: 19
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-21


Werde ich heute Nachmittag schön zusammengefasst hier rein schreiben.
Wie kamst du bei der rechten Seite der Gleichung durch die Integration auf das fed-Code einblenden



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1609
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-06-21

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
2019-06-21 09:06 - Hotweb in Beitrag No. 7 schreibt:
Wie kamst du bei der rechten Seite der Gleichung durch die Integration auf das fed-Code einblenden

Ich hatte eine Eingebung. Nein, Spaß beiseite: auf der rechten Seite setzt man die Integrationskonstante. Diese muss Werte auf ganz \(\IR\) annehmen. Ob ich da jetzt \(C\) setze oder \(\ln(C)\) für \(C>0\) läuft auf das gleiche hinaus. Letzteres ist aber einfach praktisch. Ich nenne sowas gerne Vorausschauendes Rechnen. smile

Man könnte das auch umständlicher machen, indem man zunächst eine Konstante C einführt und diese später mittels Substitution umbenennt, das war mir hier zu umständlich.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Hotweb
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-21


Ich hab mir zu (ii) jetzt auch nochmal Gedanken gemacht. Reicht es wenn ich schreibe das es sich bei den Lösungen um einen "Stern" handelt?

MfG
Hotweb



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