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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Integration im IR^n » Flächenintegral über nördliche Hemisphäre der Einheitskugel
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Autor
Universität/Hochschule J Flächenintegral über nördliche Hemisphäre der Einheitskugel
Juviole
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-20


Hallo!

Ich hänge mal wieder bei meinen wöchentlichen Aufgaben, bzw bei einem Teil davon.

fed-Code einblenden

Müsste ich dann einfach dieses Integral berechnen? Allerdings ist das dann ja ein Volumenintegral und kein Flächenintegral?

Oder muss das ganze dann doch parametrisiert werden, da ich davon ausgehe, dass dies wahrscheinlich besser mit Kugelkoordinaten gemacht wird?

fed-Code einblenden

Dies habe ich nach der Transformation erhalten.
Einen allgemeinen Wegweiser in der Hinsicht würde ich gut finden.
Danke!




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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-20

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}\)
Hallo Juviole,

das Integral, das du aufgeschrieben hast, ist das Volumenintegral über den Quader $[-1,1]\times[-1,1]\times[0,1]$.
Dein Gedanke, die Fläche in Kugelkoordinaten zu parametrisieren, ist der richtige Ansatz. Das Integral ist dann

\[\int_{\varepsilon_+}(x+y+z)\d\sigma=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\pi}\left[x(\varphi,\theta)+y(\varphi,\theta)+z(\varphi,\theta)\right]\cdot\left\vert\partial_\varphi\vector{x\\y\\z}\times\partial_\theta\vector{x\\y\\z}\right\vert\d\varphi\d\theta\]
Der Betrag des Kreuzprodukts am Ende darf auch ersetzt werden, je nach dem, wie ihr Flächenintegrale macht. Vielleicht steht bei euch auch eine Gramsche Determinante. Es sollte aber bei beidem das selbe rauskommen.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Juviole
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-20


Danke für deine Antwort,  Vercassivelaunos.

So ganz verstehe ich nicht, wie deine Parametrisierung funktioniert. Wenn man ein Volumenintegral berechnen soll, braucht man doch ein Dreifachintegral? Oder ergibt sich das aus der Radialsymmetrie? Ebenso benutzen wir bei der Transformationsformel eigentlich nur die Funktionaldeterminante.

Oder ist das einfach nur "r =1 weil Einheitskugel"?



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 601
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-20

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Ja, für ein Volumenintegral benötigt man ein dreifaches Integral. Du sollst aber ein Flächenintegral berechnen, und dafür benötigt man nur ein Doppelintegral. Für jede Dimension der Menge, über die man integriert, benötigt man ein Integral, denn jede Dimension ergibt einen unabhängigen Parameter.
Ein Linienintegral ist also nur ein einfaches Integral, Flächenintegral ein doppeltes, und Volumentintegral ein dreifaches.

Und entsprechend kann man auch keine Funktionaldeterminante aufstellen - zumindest nicht so ohne weiteres. Denn man parametrisiert eine Fläche in einem dreidimensionalen Raum, man ordnet also zwei Parametern einen Vektor mit drei Komponenten zu. In diesem Fall

\[\Phi(\varphi,\theta)=\vector{\sin\theta\cos\varphi\\\sin\theta\sin\varphi\\\cos\theta}.\]
Das ist eine Abbildung $\R^2\to\R^3$. Ihre Jacobimatrix ist also eine $2\times3$-Matrix. Eine Determinante kann man allerdings nur für quadratische Matrizen berechnen. Stattdessen muss man die Wurzel der "Gramschen Determinante" nehmen:
Für quadratische Jacobimatrizen $J$ gilt ja $\det J^TJ=(\det J)^2$. Das heißt aber, dass $\vert\det J\vert=\sqrt{\vert\det J^TJ\vert}$. $J^TJ$ nennt man Gramsche Matrix $G$, und ihre Determinante nennt man Gramsche Determinante. Glücklicherweise ist die Gramsche Matrix auch dann quadratisch, wenn $J$ nicht quadratisch ist. Ihre Determinante kann man also immer berechnen. Deshalb gilt bei Flächenintegralen:

\[\d\sigma=\sqrt{\vert\det G\vert}\d\varphi\d\theta\]
($\varphi$ und $\theta$ durch beliebige andere Koordinaten ersetzen, je nachdem, wie man parametrisiert hat).

Was ich oben stehen habe, $\left\vert\partial_\varphi\vector{x\\y\\z}\times\partial_\theta\vector{x\\y\\z}\right\vert$, ergibt genau das selbe.
\(\endgroup\)


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Juviole
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-20


Ich danke dir zutiefst. Das steht auch echt nicht so in unserem Skript bis jetzt, aber Abgabe ist auch erst in einer Woche, vielleicht wird das ja wieder Montag kurz eingeschoben..

Wie gesagt, danke für deine Hilfe!



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Juviole hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Juviole hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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