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Mathematik » Kombinatorik & Graphentheorie » Rekursion lösen
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Universität/Hochschule Rekursion lösen
nicerdude
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 03.11.2018
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-23


Gegeben sei die Rekursion
fed-Code einblenden
mit der Anfangsbedingung
fed-Code einblenden

Ich muss die Rekursion lösen. Außerdem ist gefragt, ob das etwas mit den Fibonaccizahlen zu tun hat.

Meine Lösung (mittels Partialbruchzerlegung ist:

fed-Code einblenden

Ich erkenne da jetzt leider keinen Zusammenhang und frage mich, ob für diese Rekursion wirklich so ein hässlicher Ausdruck rauskommt.



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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2356
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-23


Hallo,

schöner ist es, wenn du die Wurzeln aus den Nennern nimmst, indem du entsprechend erweiterst. Berechne mal die ersten Folgeglieder. Kannst du zeigen, dass jedes $a_n$ eine Fibonaccizahl ist?
Falls deine Formel richtig ist, lässt sie sich schöner aufschreiben. Dabei will ich gar nicht sagen, dass sie falsch ist. Das weiß ich gar nicht.



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nicerdude
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 03.11.2018
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-23


Danke für die Antwort! Erweiterung mit fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
nehme ich an, oder?

Für a_0 bekommen ich fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
raus. Da stimmt doch irgendetwas nicht :/



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hyperG
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.02.2017
Mitteilungen: 766
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-23


Diese Folge ist so bekannt, dass es eine eigene Internetseite bei OEIS.org gibt:

A001519

Zwar unterscheidet sie sich durch a(0) etwas, aber das ist nur eine Indexverschiebung.

Ob man nun schreibt
a(n) = 1/10 ((sqrt(5) - 5) (-(1/2 (3 - sqrt(5)))^n) + (5 + sqrt(5)) (1/2 (3 + sqrt(5)))^n)

oder die Wurzel-Faktoren mit "Golden Ratio"  = (1+sqrt(5))/2
vereinfacht... a(n)= ((golden Ratio)^(2n+1) + (golden Ratio)^(-1-2n))/sqrt(5)
oder
a(n)=(Fibonacci(n+3)^2 + Fibonacci(n-2)^2)/5
oder weiter
a(n)=Fibonacci(2*n+1)
oder mit Lucas-Funktion
oder mit Summen oder mit Chebyshev...
ist egal, es kommt immer die Folge
1, 2, 5, 13, 34, 89, 233, 610, 1597,...
heraus.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6049
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-23


Ohne Zwischenergebnisse nachzuvollziehen, wo der Rechenfehler ist, ist mühsam. Aber das Prinzip scheint ja klar zu sein.

Wenn man einige Glieder ausgerechnet hat, sollte eine Vermutung im Zusammenhang mit Fibonacci-Zahlen ins Auge springen.

Dann muss man die Rekursionsgleichung der Fibonacci-Zahlen nur ein wenig aufdröseln und schon wird klar, warum die Vermutung gilt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1899
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo nicerdude,

du machst dir bei deiner Lösung das Leben IMO unnötig schwer. Wie bist du auf deine Darstellung gekommen? Mittels charakteristischem Polynom bekomme ich eine explizite Darstellung der Form

\[a_n=A\cdot\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^n+B\cdot\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n\]
Das sieht zwar anders aus, passt aber mit den Basen deiner Lösung zusammen (man kann das durch Termumformungen ineinander überführen).

Damit bekomme ich dann allerdings andere Koeffizienten für die beiden Exponentialterme.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)


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nicerdude
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 03.11.2018
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-23


Vielen Dank für die hilfreichen Antworten! Ich habe die Rechnungen nicht dazugeschrieben, da ich noch Probleme mit fedgeo habe, entschuldigung.

Ich habe die erzeugende Funktion so definiert:
fed-Code einblenden

Hier sind z1 und z2 die Nullstellen (Diophant hat sie angegeben).



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nicerdude
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 03.11.2018
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
2019-06-23 18:24 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo nicerdude,

du machst dir bei deiner Lösung das Leben IMO unnötig schwer. Wie bist du auf deine Darstellung gekommen? Mittels charakteristischem Polynom bekomme ich eine explizite Darstellung der Form

\[a_n=A\cdot\frac{3+\sqrt{5}}{2}+B\cdot\frac{3-\sqrt{5}}{2}\]
Das sieht zwar anders aus, passt aber mit den Basen deiner Lösung zusammen (man kann das durch Termumformungen ineinander überführen).

Damit bekomme ich dann allerdings andere Koeffizienten für die beiden Exponentialterme.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

Ich habe es jetzt mit der charakteristischen Gleichung probiert und ich bekomme A=1=B. Es scheint zu stimmen. :)
\(\endgroup\)


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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1899
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-06-23

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

nein, \(A=B=1\) stimmt nicht. Da musst du nochmal dahinter.

Es spricht ja heutzutage nichts dagegen, sich das mal ausrechnen zu lassen und dann seine Rechnung gezielt zu überprüfen, wo ggf. Fehler sind.  smile


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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nicerdude hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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