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Lineare Algebra » Eigenwerte » Geometrische Deutung der Singulärwertzerlegung
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Universität/Hochschule Geometrische Deutung der Singulärwertzerlegung
Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-24 22:01


Bei der geometrischen Interpretation der Sinuglärwertzerlegung wird davon gesprochen, dass jede lineare Abbildung in ein Bewegegung (Drehung, Spiegelung) einer axialen Streckung und einer erneuten Bewegung zerlegt werden kann.

Leider kann ich diese Interpretation nicht nachvollziehen, da meiner Meinung nach noch eine weitere Bewegung vorhanden ist (was natürlich falsch ist, aber warum?)

Diese zusätzliche Drehung tritt nach meinem Verständnis bei der axialen Streckung auf. Ausgangsbasis bei der axialen Streckung ist eine orthonomierte Basis aus Eigenvektoren. Bei der Anwendung der Abbildung auf diese Eigenvektoren größert sich ihr Betrag um den zugehörigen Singulärwert. Durch die geschickte Wahl der Bilder der Eigenvektoren als Basis entsteht die Diagonalform, welche nur die Singulärwerten als Diagonalelemente besitzt. Die Eigenvektoren zeigen jedoch im allgemeinen nicht in die gleiche Richtung wie ihre Bilder, lediglich ihre Beträge unterscheiden sich um den Faktor des zugehörigen Singulärwertes. Damit besteht doch zwischen den Eigenvektoren und ihren Bildern ein Winkel ungleich Null, welcher als zusätzliche Drehung zu verstehen ist!?

Wo liegt der Fehler in der Vorstellung?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-25 01:31

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Hallo Jambaleija,

Die axiale Streckung hat im allgemeinen keine Eigenvektoren, da sie im allgemeinen eine Abbildung zwischen zwei verschiedenen Vektorräumen ist.
Die Anschauung mit der Streckung kommt nur daher, dass die Basisvektoren orthonormal sind, und bei der "Streckung" auf Vielfache von orthonormalen Vektoren abgebildet werden. Also sind die Bilder zueinander orthogonal stehender Basisvektoren wieder orthogonal, haben also die selbe relative Ausrichtung. Nur ihr Betrag ändert sich. Aber nicht, wie sie zu den anderen Basisvektoren stehen. Deshalb sagt man einfach nur, es sei eine Streckung. Obwohl man im engsten Sinne weder von einer Streckung, noch von einer Rotation reden kann, da im Allgemeinen zwischen unterschiedlichen Räumen abgebildet wird.
Zum Beispiel hat eine $3\times2$-Matrix auch eine $3\times2$-Matrix als "Streckung" in der Singulärwertzerlegung. Sie bildet also einen Vektor aus $\R^3$ auf einen Vektor aus $\R^2$ ab. Es gibt aber keine eindeutige Art festzulegen, wie groß der Winkel zwischen einem Vektor aus $\R^3$ und einem aus $\R^2$ ist. Man kann nur beobachten, dass zum Beispiel $v,w$ orthogonal aufeinander stehen, und $\Sigma v,\Sigma w$ ebenfalls. Und dann sagt man eben, dass sie nur gestreckt wurden, nicht rotiert.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
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Jambaleija
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-25 23:43


Danke für dei ausführliche Erklärung. Im speziellen Fall einer 2x2-Matrix ist der Winkel jedoch definiert und im Allgemeinen ungleich Null, dennoch erfolgt die Darstellung ohne die grafische Darstellung dieses Winkels z.B. www.cip.ifi.lmu.de/~kaumanns/matrixmethoden/res/ref_svd.pdf

Grundsätzlich finde ich deine allgemeine Erklärung bezüglich der Abbildung zwischen zwei Vektorräumen unterschiedlicher Dimension einleuchtend.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-26 00:49

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Ich sehe schon richtig, dass es um die Matrix $\Sigma$ geht, von der du meinst, dass sie auch eine Drehung macht, oder? $\Sigma$ ist ja diagonal mit nichtnegativen Einträgen, also selbst wenn $\Sigma$ quadratisch ist, kann diese Matrix nichts drehen.
Was ich mir vorstellen kann, woher dein Problem kommt: Du bemängelst ja, dass wenn $\Sigma$ die Orthonormalbasis $B_1$ des Ursprungsraumes $V$ auf die Orthonormalbasis $B_W$ des Zielraumes $W$ abbildet, dabei eine Rotation stattfinden kann, da die Basen keine gleichgerichteten Vektoren haben. Das ist richtig. Diese Rotation ist aber gerade die, welche durch $U$ und $V^\ast$ beschrieben wird. $U$ und $V^\ast$ rotieren die beiden Basen so hin, dass die Vektoren eben doch in die selbe Richtung zeigen.
$U$ rotiert die erste Orthonormalbasis so, dass die Basisvektoren auf die Standardbasisvektoren abgebildet werden. $\Sigma$ streckt diese Standardbasisvektoren. Und $V^\ast$ rotiert sie dann in die zweite Orthonormalbasis ($V$ würde die zweite ONB auf die Standardbasis drehen, $V^\ast$ macht die inverse Operation).
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