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Funktionentheorie » Holomorphie » Kleiner Satz von Runge
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Universität/Hochschule Kleiner Satz von Runge
erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-26


Hallo ich knobbel schon den halben Tag an folgender Aufgabe:

fed-Code einblenden

Als ich nun etwas "recherchiert" habe bin ich auf den Satz von Runge gestoßen, mit dem man a) ja sehr gut lösen kann. Allerdings verstehe ich diesen Satz nicht ganz. Die Version die ich gefunden habe lautet wie folgt:

fed-Code einblenden

Zunächst ist mir der Begriff Komponente hier nicht vertraut. Ist damit einfach ein Element der Menge gemeint? Desweiteren verstehe ich nicht, was "trifft" bedeutet?  confused Kann man das jemand erklären? Oder gibt es evtl. sogar einen Weg diese Aufgabe ohne den Satz von Runge zu lösen? (Den Beweis verstehe ich auch noch nicht komplett)



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-26


Komponente bedeutet Zusammenhangskomponente. "trift" bedeutet, dass der Schnitt nicht leer ist. Wenn es eine Übungsaufgabe ist, solltest Du diese mit Mitteln aus der Vorlesung bearbeiten. smile

Die Aufgabe ist sicherlich im Umfeld von Runge. Du kannst diese möglicherweise ohne Lösen. Wenn Du $\Omega$ aufzeichnest, kommt wahrscheinlich eine "Mondsichel" heraus, deren Spitzen sich berühren. Letzteres ist für b) relevant.

Anhand der Definition würde ich vermuten, dass Du relativ leicht eine biholomrphe Abbildung $\mathbb{D}\to\Omega$ finden kannst (oder etwas ähnliches), um damit dann passende Folgen von Polynomen zu konstruieren.



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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-27


Hallo Tom,

ich hab noch eine Weile über die Aufgabe nachgedacht und komme leider nicht weiter. Wie konstruiert man am besten so eine biholomorphe Abbildung? Und warum ausgerechnet mit der Einheitsscheibe als Urbild?  confused
Mit dem Aussehen der Menge hattest du recht aber wie genau das bei b) hilft sehe ich auch noch nicht aber ich vermute, dass es wenn man a) hat man b) darüber zeigen kann, dass man die entsprechenden Abbildungen nimmt und an der Stelle betrachtet wo die Spitzen zusammenlaufen. Ohne diese Abbildungen zu kennen geht das aber nicht.  frown
Hast du einen Ansatz für die Konstruktion?
Und wie genau würde man danach weiter machen? Warum kann ich daraus, dass ich eine biholomorphe Abbildung von der Einheitsscheibe auf meine Menge finden Aussagen über die Konvergenz der Polynome treffen? Durch die Existenz dieser biholomorphen Abbildung würde ich wissen, dass meine Menge ein Gebiet ist allerdings ist dies ja schon bekannt?



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-27


Soweit ich es sehe, sind a) und b) unabhängig voneinander. Für b) benötigst Du im wesentlichen eine Funktion auf einer Umgebung von $\overline \Omega$ und einen Weg $\gamma\subset \overline \Omega$ - dieser enthält idealerweise die "Spitze", s.d. $\int_\gamma fdz\neq 0$. Dann kann f schon nicht mehr gleichmäßig durch Polynome approximiert werden.

Ehrlich gesagt - habe ich zu a) auch noch keinen richtigen Plan. Die biholomrphe Abbildung ist mir in den Sinn gekomme, da $\Omega$ diese eher seltsame Definition hat. $|z|=1$ läßt sich als $e^{i \varphi}$ schreiben und $|ze^{1-z}|=1 \iff e|z|=|e^z|=e^{Re(z)}$. Das sieht alles danach aus, dass $\Omega$ das Bild eines "schöneren" Gebiets ist. Hat auch wohl etwas mit $e^z$ zu tun. Wenn dieses Gebiet $\mathbb{D}$ ist (muß nicht sein), wissen wir, dass eine holomorphe Funktion dort sich in 0 in eine Potenzreiche entwickeln läßt und haben damit eine Approximation auf $\mathbb{D}$. Diese könnte dann zu einer Approximation auf $\Omega$ führen(?).

Eine Gegenfrage. Was habt ihr gerade dazu in der Vorlesung gemacht? Könnte mir einen Hinweis geben, was bei a) geschehen soll.




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erik92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-27


In der Vorlesung haben wir nichts behandelt bei dem ich sehe, dass es mir hier weiterhelfen kann.
Zuletzt haben wir sowas wie den Satz von Mittag-Leffler behandelt



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