Die Mathe-Redaktion - 17.11.2019 13:50 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 1058 Gäste und 18 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Galoisgruppe über einem endlichen Körper
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Galoisgruppe über einem endlichen Körper
WWWaldo
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 20.04.2019
Mitteilungen: 17
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-26


Hallo zusammen. Ich bereite mich gerade auf eine Algebra-Prüfung zur Galois-Theorie vor und habe da ein interessante Aufgabe vorliegen. Und zwar betrachten wir das Polynom \(f = X^4 + 1\) über \(\mathbb{F}_p\) mit \(p\) prim. Dazu soll nun die Galoisgruppe bestimmt werden in Abhängigkeit von \(p\).
Ich weiß, dass \(f\) irreduzibel ist (da Kreisteilungspolynom \(\Phi_8\)). Nun weiß ich theoretisch auch seine Nullstellen (alle 8. primitiven Einheitswurzeln \( \zeta_8, \zeta_8^3, \zeta_8^5, \zeta_8^7\)). Damit würde sich der Zerfällungskörper über \(\mathbb{Q}\) relativ leicht ergeben. Und dann kann man da ja weiter machen und die Galoisgruppe relativ einfach bestimmen. Allerdings soll hier das ganze ja über \(\mathbb{F}_p\) betrachtet werden. Und da scheitert es bei mir jetzt schon an den Nullstellen. Kann mir da vielleicht jemand einen Tipp geben? Ich habe bereits gesehen, dass manche Autoren mit bestimmten Kongruenzen für \(p\) arbeiten, aber das verstehe ich dann iwie gar nicht.

Viele Grüße
WWWaldo



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-26


Hallo WWWaldo,

in der Tat eine schöne Frage. f ist irreduzibel in $\IZ[X]$. Damit kann es irreduzibel in $\IF_p[X]$ sein. Für z.B. $p=2,5$ ist es nicht, da dort $X^2+1$ schon nicht irreduzibel sind. In erster Näherung würde ich vermuten, dass für $p\neq 2$ abhänging von $p \mod 4=\pm 1$ reduzibel oder irreduzibel ist. Eine entscheidenden Frage ist, ob $-1\in\IF_p$ ein Quadrat ist, z.B. $-1\equiv 2^2 (5)$.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
supermonkey
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 27.10.2018
Mitteilungen: 314
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-27


Ich habe mich mal schlau gegooglet und herausgefunden, dass $x^4+1$ für keine Primzahl $p$ über $\IF_p$ irreduzibel ist. Demnach kann die Galoisgruppe in jedem Fall höchstens $6$ Elemente haben.




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Fabi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.03.2002
Mitteilungen: 4503
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-27


Hi,

Für jede ungerade Primzahl p gilt $p^2 = 1$ modulo 8, d.h. die Ordnung der multiplikativen Gruppe von $\mathbb{F}_{p^2}$ ist durch 8 teilbar. Da diese Gruppe zyklisch ist, gibt es darin tatsächlich ein Element der Ordnung 8, d.h. wir haben eine achte Einheitswurzel gefunden. Damit zerfällt $x^4+1$ über $\mathbb{F}_{p^2}$ in Linearfaktoren.

Dann muss man sich nur noch überlegen, wann $x^4+1$ schon über $\mathbb{F}_{p}$ selbst zerfällt.

vG,
Fabi








-----------------
"There would be the mathematical equivalent of worldwide rioting." (P.C.)

Willst du Hamburg oben sehen, musst du die Tabelle drehen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
kurtg
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1194
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-21


Hallo,

es ist $\operatorname{Gal}(f/\mathbb{Q}) =: \operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}) = (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times \cong C_2 \times C_2$, insbesondere abelsch (also muss die Lösung der Aufgabe durch Kongruenzbedingungen modulo des Führers $2^3$ gegeben sein, jetzt könnte man alle Restklassen durchprobieren und wäre fertig).  Es sind nur die in $K/\mathbb{Q}$ unverzweigten Primzahlen zu untersuchen, also $p \neq 2$ im Folgenden ($\overline{f} = (X+1)^4 \in \mathbb{F}_2[X]$).  Die Galoisgruppe von $f$ über $\mathbb{F}_p$ ist dann eine zyklische (weil jede endliche Erweiterung eines endlichen Körpers zyklisch ist) Untergruppe (die Zerlegungsgruppe) von $C_2\times C_2$, also trivial oder $C_2$, also kann die Reduktion bereits nie irreduzibel sein. Wir müssen $\operatorname{Frob}_p \in \operatorname{Gal}(f/\mathbb{Q})$ ausrechnen. Es reicht zu entscheiden, wann dieser Frobenius trivial ist. Es ist aber $\operatorname{Frob}_p = \overline{p} \in (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times$ nach Klassenkörpertheorie, also ist $1 = \operatorname{Gal}(K_\mathfrak{p}/\mathbb{Q}_p) = \operatorname{Gal}(\overline{f}/\mathbb{F}_p)$ genau für $p \equiv 1 \pmod{8}$, d.h. $\overline{f}$ zerfällt dann vollständig in Linearfaktoren. Für $p \equiv -1,\pm3 \pmod{8}$ ist die Galoisgruppe von $\overline{f}$ isomorph zu $C_2$ und $\overline{f}$ zerfällt in ein Produkt von zwei irreduziblen Polynomen vom Grad $2$.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]