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Gewöhnliche DGL » Systeme von DGL » Lösung von ODE ist ein Diffeomorphismus
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Universität/Hochschule Lösung von ODE ist ein Diffeomorphismus
trewqtrewq
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-06-30


Hallo,
ich beziehe mich auf folgende Quelle:



Es geht um Theorem 2.2.3 (b), dass X(s,t,.) ein Diffeomorphismus ist. Im Beweis unten wird gezeigt dass X(s,t,.) eine Bijektion ist und dass X(s,t,.) C^1 ist. Aber für einen Diffeomorphismus brauche ist ja auch noch, dass $det(D_x X(s,t,.))\neq0$. Woher weiß ich das?

Viele Grüße



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trewqtrewq
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-30


Okay, die Antwort war einfacher als gedacht. Die Umkehrabbildung von X(s,t,.) ist ja gerade durch X(t,s,.) gegeben und diese ist nach Theorem 2.2.2 in C^1.

Ich habe noch eine Frage zu Abschätzungen der C^k-Norm von X. Also ich suche eine Abschätzung der Form
$\|X\|_{C^{k}}\leq \text{function}~(V,..)$ und $\|X^{-1}\|_{C^{k}}\leq \text{function}~(V,..)$
Dafür nehme ich an, dass $V\in C^{k+1}$ und damit auch X ein $C^k$-diffeomorphismus ist. Ich bin kein Experte in ODE-Theorie. Gibt es generelle Abschätzungen der Lösung gegen die rechte Seite V?



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