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Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Bilinearform anwenden
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Universität/Hochschule Bilinearform anwenden
GiFi
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-01


Hallo zusammen!

Ich habe folgende, zu einer Bilinearform gehörige Matrix, gegeben:
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -2 \\
0 & 3 & 1 \\
-2 & 1 & 2 \\
\end{array}
\right)
\]
Eine weitere Basis Y lautet wie folgt:
\[v_1 := (1, -1, 0)^t, v_2 := (0, 1, 0)^t, v_3 := (1, 0, 1)^t\]
\[
M_{\phi,Y} = \left(
\begin{array}{ccc}
2 & -3 & -4 \\
-3 & 3 & 1 \\
-4 & 1 & 3 \\
\end{array}
\right)
\]
habe ich bereits errechnen können. Ist dies richtig?

Nun soll ich noch berechnen:

\[
\phi(3 \cdot v_1 - v_2, v_1 + 2 \cdot v_2 + v_3)
\]
Kann mir da Jemand mit einem Ansatz weiterhelfen?


Vielen Dank!





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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-02


Hallo und Herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten!

Könntest du mal kurz beschreiben, was deine Schwierigkeiten sind? Was hast du versucht und woran scheitert es? Ist dir grundsätzlich klar, was eine Bilinearform ist und was ihre Matrix bzgl. einer Basis bedeutet?


-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-03


Vielen Dank für die freundliche Aufnahme!

Ich stehe wahrscheinlich total "auf dem Schlauch", wird immer vor der Prüfung weit schlimmer, daher ist es sicher eine ziemlich "doofe" Frage, aber ich komme einfach gerade nicht weiter.

Ich habe jetzt zunächste einmal eingesetzt (und ab da irritiert es mich dann):

\[
\phi(3 \cdot v_1-v_2,v_1+2 \cdot v_2+v_3) = \phi(
\left(
\begin{array}{c}
3 , 2 \\
-4, 1 \\
0 , 1 \\
\end{array}
\right))
\]

Ich sehe, dass es definitiv falsch ist, aber ich sehe es gerade einfach nicht mehr ...



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-03


… [Aus Versehen das OK- Häkchen gesetzt - bin noch neu hier.]



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-03


Hi,
wie erhälst du denn in den einzelnen Komponenten Brüche?

Du kannst die Linearität in beiden Argumenten nutzen. Wie sieht dann deine Rechnung aus?



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-03


Ich habe doch nirgends etwas von Brüchen geschrieben??



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-03


Hi, mit Brüchen meine ich keine ganzen Zahlen. Du addierst und multiplizierst doch nur ganze Zahlen. Wieso kann dann dort 3,2 oder 4,1 stehen? An der Stelle passiert auch nichts mit der Biliniearform, du addierst nur Vektoren.



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-03


Linearität wäre dann:

\[
\phi(3 \cdot v_1 - v_2, v_1 + 2 \cdot v_2 + v_3) = … = \phi(3 \cdot v_1, v_1) + \phi(3 \cdot v_1, 2 \cdot v_2) + \phi(3 \cdot v_1, v_3) + \phi(-2 \cdot v_2, v_1) + \phi(-2 \cdot v_2, 2 \cdot v_2) + \phi(-2 \cdot v_2, v_3)
\]
, richtig??

Sorry, wir haben wohl parallel geschrieben, ich weiß jetzt leider nicht, wie ich weiter machen kann bzw., ob das bis hierhin überhaupt richtig ist??

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-07-03


Fast, es ist vor den $v_2$ im ersten Argument an allen Stellen eine 2 zu viel.  Linearität kann noch mehr. Was gilt außerdem?



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-03


Das kommt davon, wenn man übermüdet noch versucht zu Texen ;) - das war natürlich ein Übertragungsfehler, natürlich sollte da nur eine -1 stehen...

Also nochmal - das sollte dort stehen:

\[
\phi(3 \cdot v_1 - v_2, v_1 + 2 \cdot v_2 + v_3) = … = \phi(3 \cdot v_1, v_1) + \phi(3 \cdot v_1, 2 \cdot v_2) + \phi(3 \cdot v_1, v_3) + \phi(-v_2, v_1) + \phi(-v_2, 2 \cdot v_2) + \phi(-v_2, v_3)
\]  
Weiterhin kann ich meiner Meinung nach die Skalare herausziehen, oder?



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-03


Dann ist weiter:

\[
\phi(3 \cdot v_1, v_1) + \phi(3 \cdot v_1, 2 \cdot v_2) + \phi(3 \cdot v_1, v_3) + \phi(-v_2, v_1) + \phi(-v_2, 2 \cdot v_2) + \phi(-v_2, v_3) = 3 \cdot \phi(v_1, v_1) + 2 \cdot 3 \cdot \phi(v_1, v_2) + 3 \cdot \phi(v_1, v_3) - \phi(v_2, v_1) -2 \cdot \phi(v_2,v_2) - \phi(v_2, v_3)
\]



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-03


Weiter weiß ich nun nicht leider …

[Und OT: ich weiß nicht, wieso ich immer angezeigt bekomme, dass das OK- Häkchen gesetzt wurde, was ich nicht habe ... ]



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-04


Ist es evtl. so richtig?? :

\[
3 \cdot \phi(v_1, v_1) + 6 \cdot \phi(v_1, v_2) + 3 \cdot \phi(v_1, v_3) - \phi(v_2, v_1) -2 \cdot \phi(v_2,v_2) - \phi(v_2, v_3) = 3 \cdot (1, -1, 0) \cdot
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -2 \\
0 & 3 & 1 \\
-2 & 1 & 2 \\
\end{array}
\right)
\cdot (1, -1, 0)^t + ...
\]
Oder muss ich das errechnete \(M_{\phi, Y}\) als Matrix wählen?? Aber dann müsste ich doch nicht mehr den Basiswechsel berechnen … . Am Ende stünde dann eine Zahl.

Eine Bestätigung oder Korrektur würde mir sehr weiter helfen; danke!



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GiFi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-06


Wenn man \(\phi\) von Etwas berechnen soll, geht man doch erstmal von der Standardbasis aus und berechnet dann genau z.B.: \(v_1 \cdot M_{b(v,w)} \cdot v_1^t\) mit: \(M_{b(v,w)}\) zur Bilinearform gehörigen Matrix, oder?



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GiFi hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
GiFi hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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