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Universität/Hochschule Immersion
SabrinaMathe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-03


Hallo,
es geht um das Verständis von folgendem Beweis zu:
Sei\(\Omega \subset \mathbb{R^k} \) offen und \(\phi=(\phi_1,...,\phi_n): \Omega \subset \mathbb{R^n} \) eine Immersion der Klasse \(C^a\). Dann gibt es zu jedem \(c \in \Omega\) eine offene Umgebung \(T \subset \Omega\), s.d \(\phi(T)\) ein k- dim Untermannigfaltigkeit der Klasse \(C^a\) ist.

Beweis: Nach dem Umkehrsatz gibt es eine offene Umgebung \(T \subset \Omega \subset \mathbb{R^k}\) von c und \(V \subset \mathbb{R^k}\), s.d \(\phi=(\phi_1,...,\phi_k): T \subset V \) ein \(C^k\) Diffeo.

Definiere :\(\Phi=(\Phi_1,,,,\Phi_n): T \times          \mathbb{R^{n-k}} \rightarrow V \times          \mathbb{R^{n-k}} \) mit \(\Phi_i(t_1,...,t_n) = \phi_i(t_1,...,t_k), 1\leq i \leq k\) und  \(\Phi_i(t_1,...,t_n) = \phi_i(t_1,...,t_k)+t , k+1\leq i \leq n\)

Die Frage ist, warum ist die Abbildung\(\Phi\) ein \(C^a\) Diffeo.
Es gilt zudem: \(\Phi(T \times \{0\}) = \phi(T)\)
Wie macht das Sinn. T ist doch nur auf dem \(\mathbb{R^k}\) definiert?



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