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Lineare Algebra » Eigenwerte » Jordansche Normalform
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Autor
Universität/Hochschule J Jordansche Normalform
l2poca
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 27.12.2018
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-06


Hey,

ich versuche mich gerade an Klausuren zur LA II und bin bei diesen Fragen hängengeblieben und wäre dankbar für einige Hinweise!

1) Sei \(A\in \mathbb{C}^{5\times 5}\) mit Rang \(3\) und Minimalpolynom \(p_A(t)=t^4-t^2\). Bestimme die Jordansche Normalform von \(A^2+A\).

2) Beweise oder Widerlege:
a) Ist \(A\in \mathbb{C}^{5\times 5}\) mit Spur \(3\) und \(A^4=A^3\), so gilt auch \(A^3=A^2\).
b) Dieselbe Fragestellung wie (a) nur liegt die Matrix in \(A\in \mathbb{C}^{6\times 6}\).

Was ich versucht habe:
1) Der Rang ist invariant unter Ähnlichkeit, d.h. in der Jordanschen Normalform von \(A\) ist der Rang ebenfalls \(3\). Dies ist natürlich nur möglich, wenn es genau zwei Nullzeilen gibt, weil in der Jordanschen Normalform wegen der Blockdiagonalgestalt keine linear abhängigen Zeilen, die nicht Nullzeilen sind, haben kann. Somit ist die arithmetische Vielfachheit von \(0\) als Eigenwert ist damit \(2\). Aus dem Minimalpolynom schließt man, dass die anderen Eigenwerte \(1\) und \(-1\) sind. Nun muss das charakteristische Polynom aber Grad \(5\) haben, d.h. die Vielfachheit von \(1\) und \(-1\) ist einmal \(1\) und einmal \(2\). Jetzt könnte man alle Möglichkeiten durchprobieren und dann erhält man auch das gewünschte Ergebnis... Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass das nicht deutlich eleganter geht.

2) Hier stehe ich etwas auf dem Schlauch. Wegen Spurinvarianz unter Ähnlichkeit folgt mit der Jordanform, dass die Summe der Eigenwerte (mit Vielfachheiten gezählt) gleich \(3\) ist. \(A\) ist nach Voraussetzung eine Nullstelle von \(t^3(t-1)\), somit sind die Eigenwerte \(0\) und \(1\). Nun gibt es wieder nur endlich viele Möglichkeiten, aber das ist nun wirklich etwas unschön.

Vielen Dank,

l2poca



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-06


Hey l2poca,

zu 1) Es stimmt alles, was du sagst. Es gibt doch jetzt genau zwei Möglichkeiten, wie die JNF von \(A\) aussieht. Du musst also genau zwei Alternativen ausprobieren und daraus jeweils eine potenzielle JNF für \(A^2 + A\) bestimmen.

Die JNF von \(A^2 + A\) scheint (sofern ich mich nicht vertue) nicht eindeutig zu sein, was mich bei der Aufgabenstellung ein wenig wundert

zu 2) Ich verstehe nicht, warum du schon aufgibst. Du weißt, dass \(0\) und \(1\) die einzigen möglichen EW von \(A\) sind. Weiter weißt du, dass die Summe der EW gleich \(3\) ist. Damit kennst du doch schon das charakteristische Polynom bzw. die algebraischen Vielfachheiten von \(0\) und \(1\).

Vielmehr weiß du, dass \(A\) eine Nullstelle von \(t^3(t-1)\) ist, das Minimalpolynom von \(A\) teilt also dieses Polynom (und enthält jeden irreduziblen Faktor mindestens einmal). Du hast dann zwei Möglichkeiten, wie das Minimalpolynom aussieht.

Edit: Ich korrigiere mich bei 1), es gibt doch nur eine Möglichkeit für die JNF
Edit2: TomTom hat natürlich recht, dass der Schluss so nicht stimmt. Der größte Jordanblock der 0 hat die Größe 2 wegen der Gestalt des Minimalpolynoms und nicht wegen des Rangs



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TomTom314
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Dabei seit: 12.05.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-06


Hallo zusammen,

ich habe versucht zu den beiden JNFs das Minimalpolynom nachzurechnen und bin in beiden Fällen zu keinem positiven Ergebnis gekommen. Entweder ist bei der Aufgabe etwas faul oder ich habe einen herben Fehler gemacht.



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TomTom314
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Dabei seit: 12.05.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-06


2019-07-06 20:17 - l2poca im Themenstart schreibt:
Was ich versucht habe:
1) Der Rang ist invariant unter Ähnlichkeit, d.h. in der Jordanschen Normalform von \(A\) ist der Rang ebenfalls \(3\). Dies ist natürlich nur möglich, wenn es genau zwei Nullzeilen gibt, weil in der Jordanschen Normalform wegen der Blockdiagonalgestalt keine linear abhängigen Zeilen, die nicht Nullzeilen sind, haben kann. Somit ist die arithmetische Vielfachheit von \(0\) als Eigenwert ist damit \(2\).
Dieser Schluß ist nicht richtig. Wegen des Faktors $t^2$ gibt es zu $0$ einen Jordanblock der Größe 2. Da $t-1,t+1$ nur als lineare Faktoren auftreten, haben die Jordanblöcke dazu nur die Größe 1. Zusammen mit dem Rang gibt deshalb genau eine JNF für A.



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l2poca
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-09


Sorry für die späte Antwort. Eure Hinweise haben mir geholfen und ich habe es hinbekommen. Danke :)



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