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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Gruppe, bei der Nebenklassen disjunkt sind
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Universität/Hochschule J Gruppe, bei der Nebenklassen disjunkt sind
chicolino
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 05.07.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-08


Guten Tag smile  Ich suche nach einer endlichen Gruppe (bei der ich alle Nebenklassen manuell bestimmen kann), deren Linksnebenklasse (bzw. Rechtsnebenklassen) disjunkt sind.


Mir fallen da keine Beispiele ein und im Internet finde ich leider nicht
 viel dazu. Hatte mich zuerst an der Symmetrischen Gruppe $\mathbb{S}_{3}$ herangemacht, aber war zu blind um zu erkennen, dass alle Nebenklassen gleich sind.


Kann mir jemand dabei helfen?

Ich bedanke mich im Voraus.



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1624
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-08

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

was genau meinst du mit "die Linksnebenklassen (bzw. Rechtsnebenklassen) sind disjunkt"?

Wenn $G$ eine Gruppe und $U<G$ eine Untergruppe ist, dann sind die Linksnebenklassen von $U$ in $G$ immer disjunkt. Ebenso sind die Rechtsnebenklassen von $U$ immer disjunkt.

Da $G$ die Vereinigung aller Linksnebenklassen von $U$ ist, gibt es zu jeder Rechtsnebenklasse von $U$ immer auch eine Linksnebenklasse, zu der die Rechtsnebenklasse nicht disjunkt ist.
\(\endgroup\)


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Curufin
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.08.2006
Mitteilungen: 1689
Aus: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-09


Kleine Anmerkung zum Beweis: Nebenklassen lassen sich über eine Äquivalenzrelation definieren:
Sei \(H\) eine Untergruppe von \(G\). Dann definiere \[u\sim v \colon\Leftrightarrow uv^{-1}\in H\].
Weise nach, dass dies eine Äquivalenzrelation ist und die Äquivalenzklassen mit deiner Definition von Rechtsnebenklassen zusammenfällt.

Zusatzübung:
Überlege dir, wie die Äquivalenzrelation für Linksnebenklassen definiert sein müsste.



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xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 935
Aus: Grothendieck Universum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-10

\(\begingroup\)\( \DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\HF}{HF} \DeclareMathOperator{\HS}{HS} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} \DeclareMathOperator{\mod}{mod} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Nm}{Nm} \DeclareMathOperator{\Con}{Con} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Emb}{Emb} \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} \DeclareMathOperator{\scale}{scale} \DeclareMathOperator{\Sper}{Sper} 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Die additive Gruppe $U:=\R$ kann man durch $\R\hk \R^2,x\mapsto (x,0)$ als Untergruppe der additiven Gruppe $G:=\R\tm \R$ auffassen.
Ist $a=(a_1,a_2)\in \R^2$ beliebig, dann ist die Nebenklasse $a+U$ durch $a+U=\set{(x,y)\in \R^2}{x=a_1+x_1,y=a_2+0=a_2}=\set{(x,y)\in \R^2}{y=a_2}$ gegeben.



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Poincaré and Erdős went to an étalé party at Čech's
with an adèle and an étale as gifts. Čech was happy.
\(\endgroup\)


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