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Mathematik » Kombinatorik & Graphentheorie » Drei-Abstands-Satz
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Kein bestimmter Bereich Drei-Abstands-Satz
psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-09


Hallo Hilfreiche,

ich suche nach einen verstehbaren und im Internet zugänglichen Beweis für den oben genannten Satz (im Englischen Three-Gap Theorem oder auch Three Distance Theorem), dessen Aussagen mir recht elementar erscheint. Ich versuchte die Wiedergabe eines Beweises von Frank Liang in der englischsprachigen Wikipedia zu verstehen, der auch kurz ist und keine weitreichenden Vorkenntnisse zu erfordern scheint, scheiterte dort aber, weil entweder die Begriffe nicht klar genug sind oder mir Voraussetzungen fehlen; im letzten Fall wüsste ich aber noch nicht einmal, welche ungefähr (s.u. (1)). Möglicherweise wäre mir schon mit einer Ausgabe des gleichen Beweise geholfen, der diese Begriffe in einer Zeichnung klarer veranschaulicht.

Bei Tony van Ravenstein, "The three gap theorem (Steinhaus conjecture)", J. Austral. Math. Soc. (Series A) 45 (1988), 360-370 findet sich ein weiterer Beweis, der auch keine weitreichenden Vorkenntnisse zu verlangen scheint. Auch hier stoße ich auf vergleichbare Schwierigkeiten (s.u. (2)).

Bei wolframalpha findet sich unter "ThreeDistanceTheorem" eine schöne Animation, aber kein Text.

Wer weiß weiter? Gibt es vielleicht eine deutschsprachige Fassung eines kurzen Beweises?

Mit Dank im Voraus,

psychironiker




Das Folgende nur zur Illustration meines Problems:

(1) Z.B.: "Define a gap (an arc of the circle between adjacent points of the given set) to be rigid if rotating that gap by an angle of θ does not produce another gap of the same length." - Was bitte soll die Rotation eines Kreisbogens anderes ergeben als einen Kreisbogen gleicher Länge? Bei mehrmaligem Durchlesen hatte ich den Verdacht, dass "rigid gap" möglicherweise ein letzter von endlich vielen betrachteten nummerierten Kreisbögen ist, denn im nächsten Satz steht: "Each rotation by θ increases the position of the gap endpoints in the placement ordering of the points, and such an increase cannot be repeated indefinitely, so every gap has the same length as a rigid gap." Die Plausiblität der Schlussfolgerung im letzten Teilsatz erschließt sich mir allerdings nun in keiner Weise. Was sagt die endliche Anzahl der betrachteten Kreisbögen über die Länge aller vorhandenen aus? -  Weitere Textprobe: "An endpoint can only be missing if the gap is one of the two gaps on either side of the last point in the placement ordering" ... was eine (wieso?) fehlender Endpunkt und welche  Kreisbögen "zu jede Seite" des Endpunktes mit der höchstens Nummer gemeint sind, und warum jene, bleibt mir verschlossen usw.

(2)

fed-Code einblenden
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... usw. usf., für mich sind diese Beweise vor allem eine Ansammlung von Stolpersteinen.





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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-10

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

ein schöner Satz, den ich bisher nicht kannte. Ich habe mich erstmal nur mit dem Beweis auf Wikipedia beschäftigt.

2019-07-09 23:30 - psychironiker im Themenstart schreibt:
(1) Z.B.: "Define a gap (an arc of the circle between adjacent points of the given set) to be rigid if rotating that gap by an angle of θ does not produce another gap of the same length." - Was bitte soll die Rotation eines Kreisbogens anderes ergeben als einen Kreisbogen gleicher Länge?
Die Punkte, die auf dem Kreis seien in der Reihenfolge der Platzierung $P_1,P_2,\ldots, P_n$.
Eine Lücke (gap) besteht per Definition aus einem Paar $(P_i, P_j)$ von Punkten, so dass auf dem Kreisbogen zwischen $P_i$ und $P_j$ keine weiteren Punkte liegen.
Rotiert man so eine Lücke um den Winkel $\theta$, dann bekommt man entweder:
- eine neue Lücke und zwar die Lücke $(P_{i+1}, P_{j+1})$
oder
- keine Lücke.
Lücken der zweiten Art werden in dem Beweis als starre Lücken (rigid gaps) bezeichnet.

Betrachten wir irgendeine Lücke $(P_i,P_j)$. Wenn wir diese Lücke oft genug um $\theta$ rotieren, dann landen wir irgendwann bei einer starren Lücke, denn bei jeder Rotation, bei der wir noch nicht bei einer starren Lücke sind, erhöhen sich die Indizes der Punkte und es gibt nur endlich viele Punkte.
Damit ist also gezeigt, dass es zu jeder Lücke eine starre Lücke gleicher Länge gibt.
(Hier ist im Beweis auf Wikipedia denke ich eine Lücke  cool : Denn falls $\theta$ ein rationales Vielfaches von $\pi$ ist, dann könnte man ja auch irgendwann wieder bei $(P_i,P_j)$ landen. Tatsächlich kann man sich aber überlegen, dass man entweder schon vorher auf eine starre Lücke stoßen muss oder sogar $2\pi$ ein ganzzahliges Vielfaches von $\theta$ sein muss, und somit die Aussage des Satzes sowieso klar ist.)


Kannst du damit den Rest des Beweises schon nachvollziehen?
\(\endgroup\)


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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-10


Hallo Nuramon,

danke für die recht prompte Antwort.

Ich verfasste gerade einen Antworttext, lösche den aber erst einmal wieder, weil mir ein eigener Denkfehler auffiel. Weiteres morgen.

Lieben Gruß, Psychironiker



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-11

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-07-10 23:58 - psychironiker in Beitrag No. 2 schreibt:
Allerdings ist im Wikipedia-Text überhaupt nicht vorausgesetzt, dass endlich viele Lücken betrachtet werden
Aufgrund dieses Satzes habe ich Zweifel daran, ob du richtig verstanden hast, was mit Lücke gemeint ist:

Es werden $n\geq 2$ Punkte auf dem Kreis platziert. Durch diese Punkte wird der Kreis in genau $n$ Kreisbögen zerteilt und diese Kreisbögen nennen wir Lücken.

Wie kommst du darauf, dass das nicht endlich viele sein sollen?
\(\endgroup\)


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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


(1) Ich komme darauf, dass das möglicherweise nicht endlich viele Lücken sind, weil eine entsprechende Voraussetzung im (den Beweis von Liang wiedergebenden) Wikipedia-Text $T$ nicht genannt und z.B. auch keine Nummerierung bis n eingeführt ist, wie du dies tust, und wie es auch van Ravenstein im anderen aufgeführten Beweis macht. Trotzdem ging (auch) ich nach anfänglicher diesbezüglicher Unsicherheit von endlich vielen nummerierten Punkten aus (siehe Themenstart, Abschnitt Illustration, (1), Satz 3).

Anscheinend setzt der Wikipedia-Text $T$ stillschweigend Gleiches voraus wie der erste Teil des gleichen Wikipedia-Artikels, nur dass anders als im diesem ersten Teil auch andere Winkel als der Goldene betrachtet werden, und nennt deswegen die Voraussetzung nicht erneut, dass endlich viele Punkte betrachtet werden.

(2) Bis vor diesem Beitrag ging ich davon aus, dass $\theta$ die Verallgemeinerung des Goldenen Winkels wäre, also der Winkel einer Drehung, deren wiederholte Anwendung die betrachtete Figur erzeugt (und der als $erzeugender$ $Winkel$ bezeichnet werden kann). Du anscheinend auch, sonst hättest du die Beweislücke nicht so formuliert wie in deinem Beitrag Nr. 1.

Eine gesonderte Betrachtung erzeugender Drehwinkeln, die rationale Vielfache des Vollwinkes sind, findet sich im Beweis von van Ravenstein (d.h. in jenem Beweis ist dein Einwand berücksichtigt). Allerdings hat die Peripherie des dort betrachteten Kreises (wohl zur Vereinfachung der Darstellung) nicht die Länge $2\pi$, sondern 1, so dass im dortigen Beweis alle erzeugenden Winkel, die echte Brüche sind, diese Ausnahme darstellen.

(3) Nur entstehen aber nicht alle betrachteten Lücken durch Rotation einer vorgegebenen um natürliche Vielfache eines vorgegebenen Winkels $\theta$, denn sonst wären (auch) für $beliebiges$ reelles $\theta$ alle Lücken gleich lang. Also ist $\theta$ im Wikipedia-Text $T$ auch kein erzeugender Winkel [nach Definition in Abschitt (2) dieses Textes]. $\theta$ als erzeugenden Winkel betrachten zu haben, war der Denkfehler, der die Löschung der ersten Fassung meines Beitrags Nr. 2 motivierte.

(4) Wenn ich es jetzt besser verstand, ist die Drehung um $\theta$ eine Äquivalenzbedingung, die eine Partition aller vorhandenen Lücken in Klassen gleich langer Lücken induziert, wobei die "starre Lücke" Vertreterin je einer Klasse ist. Damit ist aber die Größe von $\theta$ unbestimmt und auch für die weitere Argumentation bedeutungslos; wichtig ist ausschließlich, ob das Bild $(P_{i+1}, P_{j+1})$ der Drehung einer gegebene Lücke $(P_i, P_j)$ um $\theta$ in der betrachteten Figur vorhanden ist oder (wie genau bei den starren Lücken) nicht; so verstehe ich deine Aussage in Nr. 1. Zu zeigen bleibt nur, dass die starren Lücken eindeutig bestimmt sind, und dass es höchstens drei verschiedene derselben gibt (und damit höchstens drei Klassen der Partition, die aus jeweils gleich langen Lücken bestehen).

Stimmt nun die Aussage (4) zur grundsätzlichen Vorgehensweise des Beweises? Sinnvoll scheint, erst einmal diesen Punkt zu klären, bevor ich den nächsten angehe.

Gruß, psychironiker




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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-11

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-07-11 11:12 - psychironiker in Beitrag No. 4 schreibt:
(1) Ich komme darauf, dass das möglicherweise nicht endlich viele Lücken sind, weil eine entsprechende Voraussetzung im (den Beweis von Liang wiedergebenden) Wikipedia-Text $T$ nicht genannt und z.B. auch keine Nummerierung bis n eingeführt ist
Im allerersten Satz steht "that if one places n points on a circle, at angles of θ, 2θ, 3θ ... ". Selbstverständlich gilt das für den gesamten Artikel.


Anscheinend setzt der Wikipedia-Text $T$ stillschweigend Gleiches voraus wie der erste Teil des gleichen Wikipedia-Artikels, nur dass anders als im diesem ersten Teil auch andere Winkel als der Goldene betrachtet werden, und nennt deswegen die Voraussetzung nicht erneut, dass endlich viele Punkte betrachtet werden.
Am Anfang des Wikipediaartikels wird die Aussage des Satzes formuliert.
Im Abschnitt "Applications" wird die Aussage an einem Beispiel erläutert, bei dem $\theta$ der goldene Winkel ist. Am Ende wird aber extra noch darauf hingewiesen, dass "This phenomenon has nothing to do with the golden ratio; the same property, of having only three distinct gaps between consecutive points on a circle, happens for any other rotation angle, and not just for the golden angle."
Im Abschnitt "History and proof" wird der Satz in der allgemeinen Version bewiesen.


(2) Bis vor diesem Beitrag ging ich davon aus, dass $\theta$ die Verallgemeinerung des Goldenen Winkels wäre, also der Winkel einer Drehung, deren wiederholte Anwendung die betrachtete Figur erzeugt (und der als $erzeugender$ $Winkel$ bezeichnet werden kann).
$\theta$ ist ein fest gewählter, aber beliebiger Winkel.


(3) Nur entstehen aber nicht alle betrachteten Lücken durch Rotation einer vorgegebenen um natürliche Vielfache eines vorgegebenen Winkels $\theta$, denn sonst wären (auch) für $beliebiges$ reelles $\theta$ alle Lücken gleich lang.
Hat auch niemand behauptet.


 Also ist $\theta$ im Wikipedia-Text $T$ auch kein erzeugender Winkel [nach Definition in Abschitt (2) dieses Textes]. $\theta$ als erzeugenden Winkel betrachten zu haben, war der Denkfehler, der die Löschung der ersten Fassung meines Beitrags Nr. 2 motivierte.
$\theta$ ist im gesamten Artikel der am Anfang fest gewählte Winkel.


(4) Wenn ich es jetzt besser verstand, ist die Drehung um $\theta$ eine Äquivalenzbedingung, die eine Partition aller vorhandenen Lücken in Klassen gleich langer Lücken induziert, wobei die "starre Lücke" Vertreterin je einer Klasse ist.
So ungefähr. Natürlich müsste man den transitiven Abschluss der durch die Drehung definierten Relation betrachten.


 Damit ist aber die Größe von $\theta$ unbestimmt und auch für die weitere Argumentation bedeutungslos;
Häh?


Zu zeigen bleibt nur, dass die starren Lücken eindeutig bestimmt sind,
Was meinst du mit "eindeutig bestimmt"?


und dass es höchstens drei verschiedene derselben gibt (und damit höchstens drei Klassen der Partition, die aus jeweils gleich langen Lücken bestehen).
Ja. Ich persönlich fand es leichter den Beweis auf Wikipedia zu verstehen, nachdem ich den Nachweis, dass es höchstens drei starre Lücken geben kann, nachvollzogen habe.
\(\endgroup\)


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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-12



Nun ja, schon etwas peinlich ... $\theta$ $ist$ der (die ganze Figur) erzeugende Winkel, weil das schlicht in der Einleitung so steht. Danke für den Hinweis.

Um klarer zu werden,
schrieb ich die im Liang-Beweis (impliziert) definierten Klassen gleich langer Lücken im Phyllotaxis-Beispiel nieder (A) und
versuchte, von dort ausgehend mir die logischen Schritte des Beweises mithilfe klarerer Bezeichnungen für den allemeinen Fall klarzumachen
(und die Behauptung, dass der "(point) land(ing) within the rotated copy" immer der " first point in the placement ordering" ist, epxlizit zu beweisen.) (B)

Das kostet Bezeichnungsaufwand, aber mit den etwas „schwebenden“ Formulierungen in der Wikipedia komme ich schlecht zurecht. - Bitte um Prüfung.

***

A. Die jeweils letzte der aufgeführten Lücken ist starr:

$P_1P_9$,   $P_2P_{10}$;

$P_3P_6$,   $P_4P_7$,   $P_5P_8$;

$P_6P_1$,   $P_7P_2$,   $P_8P_3$,   $P_9P_4$,   $P_{10}P_5$;

***
B.  (Definition einer Menge $M$ von n Punkten, die per wiederholter Rotation eines Punktes $P_1$ um den Winkel $\theta$ entstehen wie angegeben,
Definition der Lücke wie angegeben,
Definition der starren Lücke wie angegegeben.)

(Auch) im Allgemeinen entsteht eine Partition endlich vieler Klassen mit jeweils endlich vielen gleich langen Lücken und nach Konstruktion je Klasse höchstens einer starren Lücke.

(Hier ergibt sich "automatisch" der bereite besprochene Fall, dass keine starre Lücke existiert. Dann sind alle Lücken gleich lang, es gibt genau eine Klasse, die Länge der Lücke ist ein n-tel der Länge der (Einheits-)Kreisperipherie, $\theta$ ist ein rationales Vielfaches der Kreisperipherie mit Nenner n.)

Eine Lücke $P_iP_j$ ist höchstens dann starr, wenn eine folgender drei Bedingungen erfüllt ist:

(1) Das Bild von $P_i$ unter Drehung um $\theta$ ist nicht im $M$ enthalten. Dann ist $i$ der maximale Index, $j \neq i$  ist nicht der maximale Index.
(2) Das Bild von $P_j$ unter Drehung um $\theta$ ist nicht im $M$ enthalten. Dann ist $j$ der maximale Index, $i \neq j$  ist nicht der maximale Index.
(3) Im Kreisbogen zwischen $P_{i+1}$ und $P_{j+1}$ liegt ein weiterer Punkt $P_k \in M$,  sodass $P_{i+1}P_{j+1}$ keine Lücke ist.

Zwischenbehauptung: Wenn (3) erfüllt ist, ist $P_k$ = $P_1$.
Annahme: k > 1
Dann entsteht das Punktetripel $P_{i+1}P_k P_{j+1}$ durch Drehung um $\theta$ aus dem Punktetripel $P_{i}P_{k-1} P_{j}$, wobei $P_{k-1} \in M$, weswegen $P_iP_j$ keine Lücke ist (Widerspruch).

Also (?, s.u.) gibt es höchstens eine Klasse, in der eine Lücke $P_iP_j$ aufgrund der Bedingung (3) starr ist, und die Partition insgesamt enthält insgesamt höchstens drei Klassen = > Behauptung.

Weiter ist Länge der mit Bedingung (3) definierten starren Lücke $P_iP_j$ die Summe der Längen der Lücken $P_iP_{k=1}$ und $P_{k=1}P_j$.

C.  Mein „Bauchgefühl“ sagt mir, dass Klassen, die eine starre Lücke vermöge Bedingung (1) enthalten (kurz: (1)-Klassen) und (entsprechend definierte) (2)-Klassen Lücken unterschiedlicher Länge enthalten. Denn zwei Klassen der gleichen Partition sind elementweise disjunkt oder aber identisch … aber ich bin nicht sicher. Wie wäre das im Übrigen mit den starren Lücken zu argumentieren?

Auch kann ich noch nicht argumentieren, warum es nicht mehrere (3)-Klassen geben kann.

Tipp von deiner Seite?

Lieben Gruß, Psychironiker


















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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-12

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
A und B stimmen.

Zu C: Dein Bauchgefühl stimmt:
Es seien $P_nP_j$ und $P_iP_n$ die starren Lücken, die den Punkt $P_n$ enthalten. Angenommen beide hätten die gleiche Länge, dann wäre $(n-i)\theta -(j-n)\theta $ ein Vielfaches von $2\pi$ und somit wären wir wieder im Fall, dass $\frac\theta\pi\in \IQ$.



Auch kann ich noch nicht argumentieren, warum es nicht mehrere (3)-Klassen geben kann.
Es gibt nur eine Lücke, die den um $-\theta$ rotierten Punkt $P_1$ enthält.
\(\endgroup\)


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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-14


A. Deine Überlegung, warum es nur eine (3)-Klasse geben kann, ist einfach und (auch für mich) verständlich. (In einem systematischen Aufbau des Ganzen könnte irgendwo am Anfang erwähnt werden, dass zwei Lücken bis höchstens auf einen Randpunkt punktfremd sind.)

B. Zum Punkt „verschiedene Länge von Lücken der (1)-Klasse und der (2)-Klasse“:
Ich versuchte, deine Widerspruchsüberlegung (nachrechnend) zu verstehen, und stieß auch auf etwas (Allgemeineres). Wäre nett, wenn du das prüfst.
Deine usprüngliche Überlegung scheint alledings einfacher zu sein, insofern wäre eine kurze Erläuterung derselben sinnvoll. Was bedeutet die von dir genannte Differenz geometrisch?

Voraussetzung:
(a) $\theta$ ist keine rationales Vielfaches des Vollwinkels.
Die Lücken $P_iP_k$ und  $P_kP_j$ haben den Punkt $P_k$ gemeinsam. Solche Lücken sollen benachbart heißen.
(b) $P_iP_k$ und  $P_kP_j$ sind gleich lang.

Behauptung:
(i) $i<k<j$ oder aber $j<k<i$.
(ii) $k =\frac{i+j}{2}$.

Beispiele: Im Phyllotaxis-Beispiel sind
für n=3 Blätter die benachbarten Lücken  $P_1P_2$ und  $P_2P_3$ gleich lang,
für n=5 Blätter $P_5P_3$ und  $P_3P_1$,
für n=7 Blätter $P_1P_4$ und  $P_4P_7$,
für n=8 Blätter ebenfalls  $P_1P_4$ und  $P_4P_7$ sowie $P_2P_5$ und  $P_5P_8$ usw.

(Natürlich fällt sofort auf, dass bei allen diesen Beispielen die starre Lücke der (1)-Klasse an einem Paar benachbarter Lücken  beteiligt ist, aber das ist wieder eine andere Geschichte, gilt vielleicht nur für $\theta$ = Goldener Winkel usw.)


Beweis: Der Punkt $P_x \in M$ bildet mit $P_1$ den Winkel

$(x -1)\theta – 2 c_x\pi$,

wobei $0 \leq c_x \in \IN$.
Mit der Differenz der Winkel $P_1P_y$ - $P_1P_x$ bilden zwei beliebige Punkte $P_x, P_y \in M$ den orientierten Winkel

$(y -x)\theta – 2 (c_y -c_x)\pi$;

dies gilt insbesondere für eine Lücke definierende Punkte. Für solche ist der bezeichnete Winkel die Länge der Lücke. - Für die Längen der benachbarte Lücken der Voraussetzung ist

$P_iP_k = (k -i)\theta – 2 (c_k -c_i)\pi$;
$P_kP_j = (j -k)\theta – 2 (c_j -c_k)\pi$;


Annahme:  $i.j<k$ oder aber $i,j,>k$
Dann sind die so definierten Winkel benachbarter Lücken gegensätzlich orientiert.
Die Gleichsetzung  $P_iP_k$ = -$P_kP_j$ ergibt nach Zuammenfassung:

$(j-i)\theta = 2(c_j-c_i)\pi$.

Wegen (a) müssen beide Klammern $=0$ sein; daraus folgt $P_i = P_j$.
Das ist widersprüchlich, weil die benachbarten Lücken der Voraussetzung bis auf $P_k$ punktefremd sind. Daraus die Behauptung (i).

Korollar:  Wegen $i ,j< n$ können die starre Lücke $P_iP_n$ der (1)-Klasse und die starre Lücke $P_nP_j$ der (2)-Klasse, die nur unter der Voraussetzung (a) existieren und benachbart sind, nicht gleich lang sein.


Wegen  $i<k<j$ oder aber $j<k<i$ sind die so definierten Winkel benachbarter Lücken gleich orientiert.
Die Gleichsetzung  $P_iP_k$ = $P_kP_j$ ergibt nach Zuammenfassung:

$(2k-i-j)\theta = (2c_k-c_i-c_j)\pi$.

Wegen (a) müssen beide Klammern $=0$ sein; daraus folgt die Behauptung (ii).  



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-07-14

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-07-14 00:17 - psychironiker in Beitrag No. 8 schreibt:
Deine usprüngliche Überlegung scheint alledings einfacher zu sein, insofern wäre eine kurze Erläuterung derselben sinnvoll. Was bedeutet die von dir genannte Differenz geometrisch?
Im Wesentlichen hast du die gleiche Überlegung angestellt, nur ausführlicher und etwas allgemeiner.

Der Winkel zwischen den Punkten $P_i$ und $P_n$ ist gleich $n\theta -i\theta$ modulo $2\pi$. Analog für den Winkel zwischen $P_n$ und $P_j$.
Wenn also die Lücken $P_iP_n$ und $P_nP_j$ gleich lang sind, so muss gelten
\[(n-i)\theta \equiv (j-n)\theta \pmod{2\pi}\] und dass bedeutet gerade, dass $(n-i)\theta -(j-n)\theta$ ein Vielfaches von $2\pi$ sein muss. Wegen $2n-i-j >0$ muss dann $\theta$ ein rationales Vielfaches von $\pi$ sein.
\(\endgroup\)


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psychironiker
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A. Deine Idee einer Schreibweise mit Kongrenz modulo $2\pi$ erspart die ganze $c_x$-Betrachtung in meiner Darstellung und ist insoweit deutlich eleganter. Bleibt das Problem der Orientierung der betrachteten Längen bzw. Winkel.

B. Im Phyllotaxis-Beispiel für n=7 Blätter sind die benachbarten Lücken $P_1P_4$ und  $P_4P_7$ gleich lang, und die Längenberechnung (jeweils modulo $2\pi$) folgt deiner Formel

$(n-i)\theta$    bzw.     $(j-n)\theta$;

es handelt sich um einen Fall $i<n<j$.

Für n=5 Blätter sind die benachbarten Lücken $P_5P_3$ und  $P_3P_1$ gleich lang, aber die jeweilige Länge ist

$(i-n)\theta = -(n-i)\theta$    bzw.    $(n-j)\theta = -(j-n)\theta$,

es handelt sich um einen Fall $i>n>j$. Die Aussage

"Der Winkel zwischen den Punkten $P_i$ und $P_n$ ist gleich $n\theta -i\theta$ modulo $2\pi$"

trifft hier nicht zu. Zwar fällt das negative Vorzeichen bei Gleichsetzung wieder heraus, weil es beide betrachteten Lücken betrifft, aber das hebt das logische Problem nicht auf.

C. Die Bedingung "$i,j<k$ oder aber $i,j>k$", also entgegengesetzte Orientierung der Winkel benachbarter Lücken, ist im Phyllotaxis-Beispiel für $n=5$ Blätter für alle Paaren benachbarter Lücken bis auf das Paar $P_5P_3$ und  $P_3P_1$ erfüllt. Ich sehe auch mit erneutem Nachdenken nicht so schnell, wieso eine Möglichkeit "$i,j<n$ oder aber $i,j>n$" ohne gesonderte Betrachung ausgeschlossen werden könnte; dann hat die Gleichheit der Winkel die Form
\[(n-i)\theta \equiv -(j-n)\theta \pmod{2\pi},\] was dann über $i=j$ zum Widerspruch führt, s. Nr. 8, B., entsprechende Annahme.
Oder lässt sich diese "Spezialüberlegung" (im Sinne eine Straffung der Logik insgesamt) vermeiden?

D. Mit Fallunterscheidung kommt heraus, dass zwei benachbarte Lücken höchstens dann gleich lang sind, wenn ihre (nach deiner Formel einheitlich berechneten) Winkel bzw. Längen gleich orientiert sind. Es könnte sogar sein, dass in diesem Satz "höchstens dann" durch "genau dann" ersetzt werden kann, zumindest finde ich bei Betrachung der Phyllotaxis n=2,...,10 kein Gegenbeispiel: Genau in den Paaren verschieden langer benachbarten Lücken sind die Winkel gegensätzlich orientiert, oder äquivalent: Unter den benachbarten Lücken $P_iP_k$ und $P_kP_j$ ist genau in den verschieden langen $i,j<k$ oder aber $i,j>k$.

Eine solche allgemeinere Behauptung ließe sich vielleicht auch anders und insgesamt einfacher beweisen (und enthielte die hier zu beweisende Aussage dann als Sondernfall). - Idee dazu? Gibt es z.B. doch ein Gegenbeispiel?

Oder gibt es bereits ein Rechenprogramm, das sich ohne viel Aufwand so modizifizieren lässt, dass das modifizierte Programm z.B. für n=2,...1000 die die Aussage für je 100 verschiedene $\theta$ prüft? Mir fällt dazu spontan ein, dass sich zu diesem Zweck (wie bei van Ravenstein) eine Kreisperipherie der Länge 1 betrachten ließe, so dass die Rechnung modulo $2\pi$ durch eine Gaußklammer ersetzt und die Kreisperipherie auch als Intervall gedacht werden kann, in dem bei der Betrachtung aller Abstände nur der Abstand d vom größten bis zum kleinsten Punkt durch 1-d zu ersetzen ist. Wenn ein solches Programm keine Ausnahme findet, könnte die Aussage beweisbar sein.




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Nuramon
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2019-07-14 20:23 - psychironiker in Beitrag No. 10 schreibt:
B. Im Phyllotaxis-Beispiel für n=7 Blätter sind die benachbarten Lücken $P_1P_4$ und  $P_4P_7$ gleich lang, und die Längenberechnung (jeweils modulo $2\pi$) folgt deiner Formel

$(n-i)\theta$    bzw.     $(j-n)\theta$;

es handelt sich um einen Fall $i<n<j$.

Für n=5 Blätter sind die benachbarten Lücken $P_5P_3$ und  $P_3P_1$ gleich lang, aber die jeweilige Länge ist

$(i-n)\theta = -(n-i)\theta$    bzw.    $(n-j)\theta = -(j-n)\theta$,

es handelt sich um einen Fall $i>n>j$. Die Aussage

"Der Winkel zwischen den Punkten $P_i$ und $P_n$ ist gleich $n\theta -i\theta$ modulo $2\pi$"

trifft hier nicht zu. Zwar fällt das negative Vorzeichen bei Gleichsetzung wieder heraus, weil es beide betrachteten Lücken betrifft, aber das hebt das logische Problem nicht auf.
Warum trifft die Aussage nicht zu? Ich sehe das Problem nicht.
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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-15


A. Ich hätte in meinem letzten Beitrag besser $k$ als $n$ geschrieben. - Bei der Berechnung der Winkel bzw. Längen

$P_iP_k = k\theta -i\theta$ modulo $2\pi$ und
$P_kP_j = j\theta -k\theta$ modulo $2\pi$

ist $P_k$ immer der gemeinsame Punkt der beiden benachbarten Intervalle.
Für $i<k<j$ wird damit in je einer der beiden Zeilen tatsächlich die Länge der Lücke berechnet, für $j<k<i$ nicht im Allgemeinen (weil das Vorzeichen falsch ist; die Winkel $\alpha$ und $-\alpha$ sind modulo $2\pi$ nicht im Allgemeinen gleich). Beispiele führte ich in meinem vorhergehenden Beitrag auf.

Also fehlt noch eine Überlegung, warum bzw. wann die so definierte Rechnung für $k=n$ tatsächlich die betrachteten Längen bestimmt.

Problem klarer? ... oder führt etwas darum herum?

B. Alternativ wäre zu begründen, dass für $k$=$n$ im benachbarten Lückenpaar die Indizes $i$ und $j$ immer so zu identfizieren sind, dass $i<n<j$ ist. Wenn das so definiert wird, könnten diese beiden (nur für $\frac{\theta}{\pi} \in \IQ$ existenten) benachbarten Lücken auf der Peripherie des Kreises in einem Fall in der Reihenfolge des Drehsinns von $\theta$ aufeinander folgen, in einem anderen Fall aber im entgegengesetzten Drehsinn, was dann uneinheitlich und auch nicht gerade intuitiv einsichtig ist. Denn das ist bei entsprechender Definition für die (fallweise für $\frac{\theta}{\pi} \notin \IQ$ existenten) benachbarten Lückenpaare mit $k<n$ der Fall.

Ebensowenig ist nicht ohne Weiteres klar, warum der Fall "$i,j < n$ oder aber $i,j > n$" nicht eintreten sollte; Weiteres hierzu wie schon geschrieben.






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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-07-15

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Für den (wie bei Wikipedia im Uhrzeigersinn gemessenen) Winkel $\alpha_{ij}$ zwischen $P_i$ und $P_j$ gilt $\alpha_{ij}\equiv (j-i)\theta \pmod{2\pi}$.

Kurze Plausibilitätsprüfung:
Es gilt $\alpha_{ij}+\alpha_{ji}=2\pi$. Das erzeugt zumindest schon mal keinen Widerspruch zu $2\pi \equiv \alpha_{ij}+\alpha_{ji} \equiv (j-i)\theta+(i-j)\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$.
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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16


A. Du meintest in Nr. 13 sicher

$\alpha_{ij}+\alpha_{ji}=0 ( \equiv 2\pi)$, oder?

B. Ich lag in Nr. 10 und Nr. 12 falsch (und wurde durch zahlenmäßige Berechnung einzelner Beispiele darauf aufmerksam). Vor lauter Freude über den Wegfall meiner lästigen $c_x$-Rechnung durch den von dir eingeführten Restklassen-Kalkül machte ich mir dessen Funktionsweise geometrisch nicht klar genug.  Im zweiten Anlauf finde ich allerdings doch wieder eine Fallunterscheidung, die mit dem Drehsinn des berechneten Winkels zu tun hat (aber nichts mit der Anordnung der Indizes im Reellen) und eine Unterscheidung einführt, wann äquivalente Winkel gleich sind und wann nicht. - Bitte um Prüfung.

C. Zur geometrischen Veranschaulichung der Winkelberechnung mod $2\pi$ lässt sich wieder der Punkt aus Nr. 7 einführen, der aus $P_1$ durch Drehung um $-\theta$ entsteht (und $P_0$ heißen soll). Dann ist der kleinste Winkel im Drehsinn von $\theta$, der $P_0$ in einen beliebigen Punkt $P_k \in M$ der Kreisperipherie überführt,  $P_0P_k = k\theta$ mod $2\pi$.

Das Ergebnis der Berechnung des Winkels $P_iP_j$ hängt davon ab, ob...
… $P_j$ den (kleinsten) Winkel $P_iP_0$ teilt (I),
… $P_i$ den (kleinsten) Winkel $P_0P_j$ teilt (II) oder aber
… $P_0$ den (kleinsten) Winkel $P_iP_j$ teilt (III).

Die Fallunterscheidung erinnert irgendwie an die drei Klassen starrer Lücken.
In  allen drei Fällen entsteht zwar unter Verwendung der Winkel  $P_0P_k = k\theta$ mod $2\pi$ mit

$P_iP_j = P_iP_0 + P_0P_j = -P_0P_i + P_0P_j$

ein Winkel $P_iP_j$, aber im Fall (III) hat dieser den $\theta$ entgegengesetzten Drehsinn (und ist der größere der Winkel, also $-P_jP_i$); der  gesuchte Winkel entsteht erst durch  Addition von $2\pi$. (Das zeigt eine Handskizze; ich kenne mich der entsprechenden Technik nicht genug aus, um mit sinnvollem Zeitaufwand hier eine solche einzustellen.) Bei Übergang zur Äquivalenz geschieht das aber „automatisch“, so dass die Überlegung die Formel

$P_iP_j \equiv j\theta$ mod $2\pi – i\theta$ mod $2\pi$;

aus Nr. 13 bestätigt (nicht aber die Formulierung zur Berechnung von $P_iP_j$ mit Gleichheitszeichen oder -behauptung aus Nr. 9 ff.). Mit Gleichheitszeichen gilt:

$P_iP_j =$
$(j\theta$ mod $2\pi – i\theta$ mod $2\pi)$ mod $2\pi =$
$(j-i)\theta$ mod $2\pi$;

Stimmt das nun so?

D. Der Beweis in Nr. 8 hätte damit die Form (und sollte deinen Gedanken aus Nr. 9 korrekt wiedergeben):

Voraussetzung:
(a) $\theta$ ist kein rationales Vielfaches des Vollwinkels.
Die Lücken $P_iP_k$ und  $P_kP_j$ haben den Punkt $P_k$ gemeinsam. Solche Lücken sollen benachbart heißen.
(b) $P_iP_k$ und  $P_kP_j$ sind gleich lang.

Behauptung:
$k =\frac{i+j}{2}$.

Beweis:
Der Winkel zwischen beliebigen Punkten $P_x, P_y \in M$ ist

$(y -x)\theta$ mod $2\pi$;

dies gilt insbesondere für eine Lücke definierende Punkte. Für solche ist der bezeichnete Winkel die Länge der Lücke. - Für die Längen der benachbarte Lücken der Voraussetzung ist

$P_iP_k = (k -i)\theta$ mod $2\pi$
$P_kP_j = (j -k)\theta$ mod $2\pi$

Die Gleichsetzung $P_iP_k$ = $P_kP_j$ ergibt nach Zuammenfassung:

$(2k-i-j)\theta \equiv 0$ mod $2\pi$;

mit (a) ist notwendigerweise $2k -i -j = 0$; daraus folgt die Behauptung.

Korollar:
Die starre Lücke $P_iP_n$ der (1)-Klasse und die starre Lücke $P_nP_j$ der (2)-Klasse sind verschieden lang.
Annahme: $P_iP_n$ und $P_nP_j$  sind gleich lang.
Die Lücken der Annahme existierten nur unter der Voraussetzung (a). Also ist $n=\frac{i+j}{2}$. Das ist wegen $i ,j< n$ widersprüchlich.

E. Die Fälle n = 2,..., 10 des Phyllotaxis-Beispiels lassen vermuten, dass (falls, wie in diesem Beispiel, $\theta$ kein rationales Vielfaches von $\pi$ ist), folgende drei Aussagen (sogar) äquivalent sind:

(i) Für die Länge benacbarter Lücken gilt $P_iP_k = P_kP_j$

(ii)  $i<k<j$ oder aber $i>k>j$

(iii) $k = \frac{i+j}{2}$

Fällt dir dazu etwas ein? Allerdings ist das wohl eher ein neues Thema.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-07-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-07-16 12:16 - psychironiker in Beitrag No. 14 schreibt:
A. Du meintest in Nr. 13 sicher

$\alpha_{ij}+\alpha_{ji}=0 ( \equiv 2\pi)$, oder?
Nein, ich meinte schon $\alpha_{ij}+\alpha_{ji}=2\pi$: Wenn man im Uhrzeigersinn von $P_i$ nach $P_j$ geht und dann weiter im Uhrzeigersinn von $P_j$ nach $P_i$, dann ist man einmal um den ganzen Kreis gelaufen.


C.
Das Ergebnis der Berechnung des Winkels $P_iP_j$ hängt davon ab, ob...
… $P_j$ den (kleinsten) Winkel $P_iP_0$ teilt (I),
… $P_i$ den (kleinsten) Winkel $P_0P_j$ teilt (II) oder aber
… $P_0$ den (kleinsten) Winkel $P_iP_j$ teilt (III).

Mir ist überhaupt nicht klar, was du hier aussagen willst. Welche "Berechnung des Winkels $P_iP_j$" meinst du? Woher kommt diese Fallunterscheidung?

 (Das zeigt eine Handskizze; ich kenne mich der entsprechenden Technik nicht genug aus, um mit sinnvollem Zeitaufwand hier eine solche einzustellen.)
Du kannst auch deine Skizze einscannen bzw. fotografieren und dann auf dem Matheplaneten hochladen (auf der linken Seite, unterhalb von "Aktion im Forum" ist "Upload").


Bei Übergang zur Äquivalenz geschieht das aber „automatisch“, so dass die Überlegung die Formel

$P_iP_j \equiv j\theta$ mod $2\pi – i\theta$ mod $2\pi$;

aus Nr. 13 bestätigt (nicht aber die Formulierung zur Berechnung von $P_iP_j$ mit Gleichheitszeichen oder -behauptung aus Nr. 9 ff.).
Ach das ist das Problem. Faustregel: Der Restklassenoperator mod (bzw. %) ist bescheuert und sollte nur beim Programmieren verwendet werden (und selbst da ist er nicht einheitlich implementiert: In manchen Sprachen gilt (-1)%2 = 1, in anderen gilt (-1)%2 = -1.).

Es ist viel eleganter im Restklassenring $\IR/(2\pi \IZ)$ zu arbeiten.
Mit
2019-07-14 01:13 - Nuramon in Beitrag No. 9 schreibt:
Der Winkel zwischen den Punkten $P_i$ und $P_n$ ist gleich $n\theta -i\theta$ modulo $2\pi$.
ist gemeint, dass der Winkel $\alpha_{in}$ sich von $n\theta -i\theta$ nur um ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$ unterscheidet.

Ist allgemeiner $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $M$ und sind $x,y\in M$, so sagt man $x$ sei gleich $y$ modulo $\sim$, genau dann, wenn $x\sim y$ gilt.
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-19



A. Zur Defintion "modulo" (an Definitionen in Computerprogrammen dachte ich nirgendwo): Ich gehe davon aus, dass sowohl du als auch ich die ganze Zeit eine Partition aller reellen Winkel verwenden, die solche Winkel für äquivalent erklärt, die sich um ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$ unterscheiden, wobei Repräsentant jeder durch diese Äquivalenz induzierten Klasse ein Winkel $0 \leq \alpha < 2\pi$ ist. So lassen sich alle betrachteten $P_k$ durch Drehung von $P_0$ um das $\IN \ni k$-fache von $\theta$ erzeugen.
Das Mengensystem der Klassen dieser Partition ist anscheinend der Restklassenring $\IR/2\pi\IZ$. Richtig?

B. Mit "Berechnung des Winkels $P_iP_j$ meine ich die in Nr. 14, C. genannte:

$P_iP_j = P_iP_0 + P_0P_j = -P_0P_i + P_0P_j$

Auf die Fallunterscheidung stieß ich, als ich ausprobierte, ob diese Formel (unter der Voraussetzung, dass $P_0P_i$, $P_0P_j$ Lückenlängen sind) im Allgemeinen geeignet ist, eine Lückenlänge zu definieren.

Eine Faustskizze zur Illustration der in Nr. 14 definierten Fälle könnte sein (danke für den Hinweis, wie ich die hier hinein bekomme):



Die Formel funktioniert in Fall III also nicht; Nr. 14, C. ist meine Schlussfolgerung zu entnehmen, welche der dort genannten Terme dann im Allgemeinen $P_iP_j$ darstellen und welche nicht (womit sich die Hoffnung verbindet, dass die Schreibweise des Beweises in Nr. 14., D dann korrekt ist). - Ist dem so?

Mir ging es (nach dem "Reinfall" in Nr. 10 und Nr. 12) darum, welcher Weg nun von einer (definierenden) elementargeometrischen Vorstellung der Länge einer Lücke zur korrekten Anwendung der Restklassenrechnung bei deren Bestimmung führt.






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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-07-19

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Wenn ich dich richtig verstehe, dann behauptest du, dass die Formel $P_0P_j- P_0P_i=P_iP_j$ im Fall III nicht gilt.

In deiner Skizze kommst du im Fall III auf $P_0P_j- P_0P_i=-P_jP_i$.
Aber es gilt doch $-P_jP_i = P_iP_j$. Wo siehst du hier ein Problem?
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-20


A. In Nr. 6 und allen folgenden Beiträgen sind die betrachteten Bögen (und damit Winkel) orientiert. Deswegen ist $\alpha_{ij}+\alpha_{ji}=2\pi$, wie du in Nr. 15 bestätigst, und eben nicht $\alpha_{ij}+\alpha_{ji}=0$ (wie ich in Nr. 14, A. dachte, und was so wäre, wenn $-\alpha_{ji} = \alpha_{ij}$ wäre). Ich ließ mich in Nr. 14, A. von Rechenregeln verwirren, die für Pfeile gelten (aber nicht sämtlich für Kreisbögen).

B, Zu Nr. 17: Das Problem sehe ich darin, dass $P_iP_j = \alpha_{ij}$ ist, und also auch $P_iP_j \neq -P_jP_i$. Wie aus deinem Kommentar in Nr. 15 zu Nr 14, A. per Umformung hervorgeht und die Skizze in Nr. 16 zu Fall III illustriert, ist $P_iP_j +P_jP_i = 2\pi$, also $-P_jP_i = P_iP_j -2\pi$.

C. Wenn das nun stimmt, bitte weiter bei Nr. 14, C. Ich hoffe, das Problem ist dann klarer. - Was dort "mod" bedeuten soll, steht in Nr. 16, A.






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\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Es gibt zwei verschiedene Sichtweisen, die vermutlich für Verwirrung sorgen:

1. Sichtweise: Wir fassen die Winkel $\alpha_{ij}$ als reelle Zahlen auf mit $0< \alpha_{ij} < 2\pi$.
Aus der Kongruenz $\alpha_{ij}\equiv (j-i)\theta \pmod{2\pi}$ lässt sich $\alpha_{ij}$ dann eindeutig bestimmen.
Es gilt $0<\alpha_{ij}+\alpha_{ji} = 2\pi$, was man geometrisch begründen kann, oder auch aus der Kongruenz herleiten kann.

2. Sichtweise: Wir fassen die Winkel $\alpha_{ij}$ als Elemente von $\IR/(2\pi\IZ)$ auf.
Dann gilt die Gleichung $0=2\pi =\alpha_{ij}+\alpha_{ji}\in \IR/(2\pi\IZ)$. (genau genommen sollte es eigentlich heißen $0+2\pi\IZ = 2\pi + 2\pi\IZ$, aber per Konvention kann man auch einfach $0=2\pi$ schreiben, wenn klar ist, dass die Gleichung in $\IR/(2\pi\IZ)$ zu verstehen ist.)
Mit dieser Sichtweise gilt also sowohl $\alpha_{ij} = -\alpha_{ji}$ als auch $\alpha_{ij} = 2\pi -\alpha_{ji}$, weil $2\pi = 0$ ist.

Ich hatte eigentlich immer die 1. Sichtweise vertreten. Nr.16 A hört sich so an, als ob du die 2. Sichtweise vertrittst. Deswegen habe ich das in Nr. 17 auch getan.

Bitte entscheide dich für eine Sichtweise und wiederhole dann gegebenenfalls die Fragen, die noch offen sind.
\(\endgroup\)


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psychironiker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


A. Ich bin bei der ersten Sichtweise, denn die Winkel $\alpha_{ij}$ sollen eine andere Schreibweise der im Beweis zu betrachtenden Kreisbögen $P_iP_j$ (und damit eine echte Obermenge der zu betrachtenden Lücken) sein. Die geometrische Deutbarkeit je eines einzelnen Winkels bzw. Kreisbogens finde ich für den Beweis brauchbarer. Entsprechend sollten gleiche und modulo $2\pi$ kongruente Winkel formal unterscheidbar sein.

Ich meinte, dass das in Nr. 16, A. auch schon so steht. Dort ist kein einzelner Winkel $\alpha_{ij}$ Element von $\IR/(2\pi\IZ)$, sondern je eine ganze Äquivalenzklasse von Winkeln, nämlich {$\alpha_{ij} +2k\pi$ mit $k \in \IZ$} usw. (s. dort).

B. Das verbleibende Problem ist daher das schon formulierte (Nr. 17, B. und Nr. 14, C.).
Versuch einer Kurzfassung: Im Allgemeinen gilt

$P_0P_j- P_0P_i \equiv P_iP_j$,

aber nur in Fall I und Fall II gilt auch

$P_0P_j- P_0P_i = P_iP_j$,

denn in Fall III gehört der durch die Subtraktion entstehende Winkel $-P_jP_i$ nicht zum gewählten Repräsentantensystem $ 0 \leq \alpha_{ij} = P_iP_j < 2\pi$ der Partition. (Das steht in anderer Formulierung auch schon in Nr. 14, C.)

Trifft das zu und ist so nachvollziehbar? Schlussendlich geht es um die Korrektheit der Schreibweise des Beweises in Nr. 16, D. (und vergleichbarer Überlegungen).

C. Auch Nr. 16, E. finde ich interessant, aber das ist eher ein ganz eigenes Thema, und ich dachte auch noch nicht lange selbst darüber nach.







 



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2019-07-22 21:32

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-07-21 00:08 - psychironiker in Beitrag No. 20 schreibt:
A. Ich bin bei der ersten Sichtweise, denn die Winkel $\alpha_{ij}$ sollen eine andere Schreibweise der im Beweis zu betrachtenden Kreisbögen $P_iP_j$ (und damit eine echte Obermenge der zu betrachtenden Lücken) sein. Die geometrische Deutbarkeit je eines einzelnen Winkels bzw. Kreisbogens finde ich für den Beweis brauchbarer. Entsprechend sollten gleiche und modulo $2\pi$ kongruente Winkel formal unterscheidbar sein.
Ok.

Ich meinte, dass das in Nr. 16, A. auch schon so steht. Dort ist kein einzelner Winkel $\alpha_{ij}$ Element von $\IR/(2\pi\IZ)$, sondern je eine ganze Äquivalenzklasse von Winkeln, nämlich {$\alpha_{ij} +2k\pi$ mit $k \in \IZ$} usw. (s. dort).
Damit widersprichst du dir aber selbst ... Die Elemente von $\IR/(2\pi\IZ)$ sind nämlich genau die Äquivalenzklassen $x+2\pi\IZ = \{x+2k\pi\mid k\in \IZ\}$ mit $x\in \IR$.


B. Das verbleibende Problem ist daher das schon formulierte (Nr. 17, B. und Nr. 14, C.).
Versuch einer Kurzfassung: Im Allgemeinen gilt

$P_0P_j- P_0P_i \equiv P_iP_j$,

aber nur in Fall I und Fall II gilt auch

$P_0P_j- P_0P_i = P_iP_j$,

denn in Fall III gehört der durch die Subtraktion entstehende Winkel $-P_jP_i$ nicht zum gewählten Repräsentantensystem $ 0 \leq \alpha_{ij} = P_iP_j < 2\pi$ der Partition. (Das steht in anderer Formulierung auch schon in Nr. 14, C.)
Ok. Das stimmt so.


Trifft das zu und ist so nachvollziehbar? Schlussendlich geht es um die Korrektheit der Schreibweise des Beweises in Nr. 16, D. (und vergleichbarer Überlegungen).
Was mir immer noch nicht klar ist, wozu du die Gleichung überhaupt brauchst. In Nr. 14 D (ich nehme an, das meintest du) kommt die nämlich gar nicht vor.


C. Auch Nr. 16, E. finde ich interessant, aber das ist eher ein ganz eigenes Thema, und ich dachte auch noch nicht lange selbst darüber nach.
Was genau willst du dort voraussetzen? Ich nehme mal an, die Aussage soll sein, dass wenn $P_iP_k$ und $P_kP_j$ benachbarte Lücken sind, dann sollen (i),(ii),(iii) äquivalent sein.
Das (i) und (iii) äquivalent sind hast du schon bewiesen. Ob $(ii)\implies (iii)$ immer gilt, sehe ich im Moment nicht.
\(\endgroup\)


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A. Es ist schon etwas spät bzw. früh am Morgen, so dass ich über deinen Kommentar zu Nr. 16, E. erst beim nächsten Mal antworte.

B.
Ich meinte, dass das in Nr. 16, A. auch schon so steht. Dort ist kein einzelner Winkel $\alpha_{ij}$ Element von $\IR/(2\pi\IZ)$, sondern je eine ganze Äquivalenzklasse von Winkeln, nämlich {$\alpha_{ij} +2k\pi$ mit $k \in \IZ$} usw. (s. dort).

Damit widersprichst du dir aber selbst ... Die Elemente von $\IR/(2\pi\IZ)$ sind nämlich genau die Äquivalenzklassen $x+2\pi\IZ = \{x+2k\pi\mid k\in \IZ\}$ mit $x\in \IR$.

Nur zur Erläuterung, hier sind wohl einfach verschiedene Auffassungen möglich, und ich will mich nicht in Haarspaltereien verlieren: Eine Partition ist ein Mengensystem, damit nach meinem Verständnis der Russellschen Antinomie $keine$ Menge (auch wenn ich diese Sprechweise schon las). Die Partition enthält als Elemente ganze Mengen von Winkeln ( = ihre Klassen), womit sie nicht im gleichen Sinne $einzelne$ Winkel als Elemente enthalten kann; letzeres ist sozusagen den Klassen als "mittlerer Instanz" der Gesamtkonstruktion aus Partition, Klassen und (einzelnen) Winkeln vorbehalten. Aquila non captat muscam, ein Adler fängt keine Fliege (jedenfalls nicht ohne aufzuhören, ein Adler zu sein).

Ich unterschreibe daher jede Silbe deiner hier zitierten Aussage und bleibe trotzdem bei meiner, ohne den geringsten Widerspruch zu finden. (Die Elemente der Partition sind die Äquivalenzklassen, und $eben$ $deswegen$ keine einzelnen Winkel.)

C. Es geht in der Tat um (den Beweis in) Nr. 14, D., nicht um Nr. 16.
Dort könnte ohne die Überlegung aus Nr. 20, B. aus den vorangehenden Zeilen

$(2k-i-j)\theta = 0$ mod $2\pi$

gefolgert werden und nicht "bloß"

$(2k-i-j)\theta \equiv 0$ mod $2\pi$;

Ich überlegte mir noch nicht zu Ende - und auch dafür stimmt jetzt einfach die Uhrzeit nicht - ob bei $= 0$ die Voraussetzung, dass $\theta$ kein rationales Vielfaches von $\pi$ ist, noch erforderlich ist, um $2k-i-j = 0$ zu schlussfolgern.
Mit $\equiv 0$ fühlte ich mich bezüglich der Erfordernis der genannten Voraussetzung auf der sicheren Seite.



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