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Analysis » Integration » Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit
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Universität/Hochschule J Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit
MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-10


Hallo, bin am lernen und komme bei einer Aufgabe nicht ganz weiter.

Ich habe F: [-1, 1] -> R mit F(x) = fed-Code einblenden
und F(0)=0

Ich muss zeigen, dass F differenzierbar ist, aber die Ableitung von F nicht Riemann-integrierbar ist.

Das habe ich bis jetzt

lim x->0 (F(x) - F(0)) / (x - 0) = F(x) / x = 0

Damit wäre f ja differenzierbar

Dann würde ich die Ableitung von F(x) bestimmen

f(x) = 2x * sin(\pi / x^2) - (2cos(\pi / x^2)) / x

Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob der Ansatz so stimmt und wie ich weiter machen müsste.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-10


Hallo,

dein bisheriger Ansatz stimmt. Jetzt brauchst du nur noch die Voraussetzung für Riemann-Integrierbarkeit und dann musst du deine Ableitung daraufhin prüfen.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integration' von Diophant]



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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-10


Die Voraussetzung ist ja, dass f beschränkt ist und jede Riemannfolge von f konvergiert.
Das heißt, dass ich also den Grenzwert von f(x) für x->0 untersuchen muss, richtig?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-10


Hallo,

ja, das ist richtig. Es reicht aber hier eigentlich aus, den Summand mit dem Kosinus einmal scharf anzusehen...

Gruß, Diophant



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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-10


Da der cosinus ja nur Werte zwischen -1 und 1 annimmt, oszilliert der zweite Summand.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-10

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

nein, dann wäre dieser Summand und somit die Ableitung auf dem gesamten Intervall beschränkt.
Der Term mit dem Kosinus wird ja allerdings noch durch x dividiert. Was passiert da für \(x\to\infty\)?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-10


Dann würde der Summand mit dem cosinus gegen unendlich gehen, oder?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-10

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Gegen \(\infty\) oder -\(\infty\) ist doch egal (je nachdem von welcher Seite passiert hier beides). Tatsache ist: \(f(x)\) ist auf \(\left[-1,1\right]\) unbeschränkt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-10


Danke. Damit wäre der Beweis dann fertig. Da der Grenzwert von F(x) existiert ist f differenzierbar.
Da aber f unbeschränkt ist, ist die Funktion nicht integrierbar.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-07-10


Hallo,

genau so ist es.


Gruß, Diophant



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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-10


Vielen Dank :)




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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


Hallo,ich hätte nochmal eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe.

Und zwar habe die die Funktion f: [-1, 1] -> R mit f(x) = 0 für x<0 und f(x) = 1 für x>=0

Ich möchte zeigen, dass f integrierbar ist und das Integral ausrechnen.

Ich weiß, dass es sich hierbei um eine Treppenfunktion handelt.
Ich habe einmal stückweise Stetigkeit für x<0 und einmal stückweise Stetigkeit für x>=0,
da die Funktionen dort ja einfach Konstante sind.

Mir ist nur nicht ganz klar,wie ich das nun formal mit der Ober und Untersumme beweisen soll und dann das integral ausrechnen soll.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-07-11


Hallo,

musst du das denn per Ober- und Untersumme berechnen? Das Resultat sollte ja anschaulich klar sein, aber falls notwendig kann man den Teil, wo die Funktion 0 ist weglassen und die andere Seite in äquidistante Rechtecke zerlegen. Die müssen ja dann alle flächengleich sein (weshalb?).


Gruß, Diophant



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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


Treppenfunktionen an sich haben wir nicht gehabt, deswegen weiß ich nicht so wirklich, ob ich damit argumentieren darf.

Da die Funktion ja konstant ist und alle Rechtecke mit Feinheit gegen 0 gehen, sollten ja auch alle flächengleich sein



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-07-11


Hallo,

ich verstehe jetzt nicht so ganz, um was es dir an dieser Stelle geht? Für die formale Schreibweise ist es doch ganz gleich, um was für eine Art von Funktion es sich handelt. Und die Schreibweise mit Riemann- bzw. Ober- und Untersummen sollte an dieser Stelle ja bekannt sein.

Oder ist dir hier wirklich das Eregebnis unklar?

Und die Frage nach der Riemann-Integrierbarkeit sollte ja klar sein, die entsprechende Argumentation hatten wir doch in der Frage aus dem Themenstart.


Gruß, Diophant



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


Das Ergebnis, dass die Funktion Riemann-integrierbar ist, ist mir klar.
Ich weiß nur nicht ganz, wie ich den Beweis dazu jetzt aufschreiben soll



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-07-11


Deine Funktion ist beschränkt und an genau einer Stelle nicht stetig. Das reicht völlig aus, siehe hier.


Gruß, Diophant



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


Ok, Danke nochmal.
Die eine Stelle, an der f(x) nicht stetig ist, ist die O, richtig?

Wenn man das integral berechnet kommt man dann auf 1, da ich ja nur das integral für f(x)=1 ausrechnen muss.

Wie kann ich dann noch zeigen,  dass f keine Stammfunktion auf [-1, 1] besitzt?



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2019-07-11

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-07-11 17:18 - MatheAthlet in Beitrag No. 17 schreibt:
Ok, Danke nochmal.
Die eine Stelle, an der f(x) nicht stetig ist, ist die O, richtig?

Ja, wo sonst? ;-)

2019-07-11 17:18 - MatheAthlet in Beitrag No. 17 schreibt:
Wenn man das integral berechnet kommt man dann auf 1, da ich ja nur das integral für f(x)=1 ausrechnen muss.

Sauber formulieren: du musst das Integral von 0 bis 1 berechnen, also

\[\int_0^1{dx}=1\]
2019-07-11 17:18 - MatheAthlet in Beitrag No. 17 schreibt:
Wie kann ich dann noch zeigen,  dass f keine Stammfunktion auf [-1, 1] besitzt?

Was muss denn so bspw. nach Definition für eine Stammfunktion gelten?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


F muss differenzierbar sein.

Also muss ich den lim x->0 (F(x) - F(0)) / (x-0) betrachten



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2019-07-11


Hallo,

so kompliziert musst du nicht denken: Differenzierbarkeit der Stammfunktion enstpricht der Stetigkeit der Grundfunktion. Und da ist doch schon alles geklärt...


Gruß, Diophant



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MatheAthlet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


Dann habe ich also, da f(x) an der Stelle x=0 nicht stetig ist schon gezeigt, dass f(x) keine Stammfunktion besitzt



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2019-07-11


Ja.


Gruß, Diophant



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-11


Nochmals vielen Dank :)



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