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Universität/Hochschule SDE lösen
Miradius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-12 12:24


Hallo,

ich möchte folgende SDE (geometric brownian motion \(X=X(t)\) mit Ito und dann mit Stratonovich lösen
\[dX=\mu X dt +\sigma XdW(t)\qquad \qquad (1)\]
,mit der Anfangsbedingung \(X(0)=X_0\) (\(W(t)\) ist der Wiener Prozess= Brownian motion).

Um diese SDE zu lösen brauche ich einen Ansatz \(f=f(X,t)\). Im Netz habe ich \(f=log X\) gefunden. Auf diesen Ansatz muss man dann, dass Ito Lemma (Definition aus der Vorlesung) anwenden
\[df(X,t)= \left( \frac{\partial f}{\partial t}+ a\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{b^2}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right) dt + b\frac{\partial f}{\partial x}dW \qquad \qquad (2)\]
woraus folgt
\[d(log X) = \frac{a}{x}dt - \frac{b^2}{2X^2}dt + \frac{b}{X}dW \qquad \qquad (3)\]
Ab hier komme ich nicht mehr weiter. In den Lösungen die man im Netz findet, taucht auf der rechten Seite von Gleichung (3) ein \(dX\), sodass man dafür (1) substituieren kann. Ist die Definition (3) aus meiner Vorlesung fehlerhaft?

Grüße








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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-12 12:57


2019-07-12 12:24 - Miradius im Themenstart schreibt:
woraus folgt
\[d(log X) = \frac{a}{x}dt - \frac{b^2}{2X^2}dt + \frac{b}{X}dW \qquad \qquad (3)\]

Hier kommen noch irgendwelche unbekannten Parameter $a$ und $b$ vor. Was haben die in der Formulierung des Lemmas in deiner Vorlesung für eine Bedeutung? Du musst doch irgendwie die ursprüngliche SDE ins Spiel bringen.



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Miradius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-12 13:15


Darauf hatte ich garnicht geachtet, danke!


Bei der Herleitung des Lemma,

sind wir von einem Prozess \(X(t)\) ausgegangen für den gilt:

\[dX = a(X,t)dt + b(X,t) dW\]

Aus dem Vergleich mit (1) folgt

\[a(x,t)=\mu X \qquad \qquad b=\sigma X \]
und aus (3) wird somit

\[d(log X) = \mu dt - \frac{\sigma^2}{2}dt + \sigma dW = (\mu-\frac{\sigma^2}{2})dt+\sigma dW\]
Für den letzten Term \(\sigma dW\) könnte man ein (1) einsetzen, aber das bringt nicht wirklich was. Ansonsten könnte man diese Gleichung auch direkt integrieren, aber ich weiß nicht so wirklich, wie \(\int_0^t dW\)(Ito) berechnet werden soll.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-12 13:35


2019-07-12 13:15 - Miradius in Beitrag No. 2 schreibt:
Ansonsten könnte man diese Gleichung auch direkt integrieren

Das ist der richtige Weg.

2019-07-12 13:15 - Miradius in Beitrag No. 2 schreibt:
aber ich weiß nicht so wirklich, wie \(\int_0^t dW\)(Ito) berechnet werden soll.

Das ist mit hoher Wahrscheinlichkeit in deiner Vorlesung angesprochen worden. Du kannst aber auch einfach direkt zur Definition des Integrals greifen.



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Miradius
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-12 13:50


Okay, danke für deine Hilfe!



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