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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Bild von Kern/Bild
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Autor
Universität/Hochschule J Bild von Kern/Bild
Erlenmeyer
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.05.2019
Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-13


Hallo,

ich habe eine Frage bezüglich Bild vom Kern.
Können diese für eine Matrix unterschiedlich sein?

Vielen Dank



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 598
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-13

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Erlenmeyer,

ist dir bewusst, dass der Kern definiert ist als die Menge der Vektoren, deren Bild 0 ist? Das Bild des Kerns ist also schon per Definition immer $\{0\}$, und zwar für alle Matrizen.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Erlenmeyer
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.05.2019
Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-15


Hallo,

entschuldige die verspätete Antwort. Ich habe immernoch eine Frage bezüglich der Frage.

Die Definition von einem Kern kenne ich, jedoch verstehe ich diese vielleicht nicht ganz. Heißt es also schon per Definition das diese unterschiedlich seien können?


Vielen Dank




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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 598
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-15

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Nein, es heißt, dass sie schon per Definition nicht unterschiedlich sein können. Das Bild des Kerns ist per Definition festgelegt auf $\{0\}$. Andere Möglichkeiten gibt es nicht.
Oder verstehe ich deine Frage nicht richtig?
\(\endgroup\)


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Erlenmeyer
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 27.05.2019
Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16

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2019-07-15 22:18 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt:
Nein, es heißt, dass sie schon per Definition nicht unterschiedlich sein können. Das Bild des Kerns ist per Definition festgelegt auf $\{0\}$. Andere Möglichkeiten gibt es nicht.
Oder verstehe ich deine Frage nicht richtig?

Dies war genau meine Frage.

Aber ich möchte dies mit Beispielen zeigen.
Dies war die Aufgabe :

(AUFGABE b)


Dazu haben wir diese Ergebnisse herausbekommen :
fed-Code einblenden

Jedoch wurde uns dieses Ergebnis auch als richtig bestätigt:
fed-Code einblenden

Daher kam meine Frage, ob Basis von Kerne unterschiedlich seien können.

PS: Für a bekommt man dies raus:
fed-Code einblenden

\(\endgroup\)


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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1629
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Erlenmeyer,

grundsätzlich ist es so, dass ein Kern (einer linearen Abbildung) stets ein (Unter-)Vektorraum ist. Genauer: ein Untervektorraum des Urbilds.

Als solcher hat er eine Dimension (hier offensichtlich \(dim(Ker(\varphi))=3\)). Jede Kombination von linear unabhängigen Elementen eines (endlich-dimensionalen) Vektorraums ist bekanntlich genau dann eine Basis, wenn ihre Anzahl eben genau der Dimension entspricht. Also ist es nicht weiter verwunderlich, dass es für den Kern mehrere richtige Lösungen gibt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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wessi90
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2025
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-16


Für eine lineare Abbildung $A:V \to W$ ($V$ und $W$ seien beliebige Vektorräume) ist der Kern die Menge aller Vektoren aus $V$, die auf den Nullvektor aus $W$ abgebildet werden.

Das ist ein Untervektorraum von $V$. Deine Frage lautet also: Besitzt jeder Vektorraum eine eindeutige Basis? Die Antwort ist natürlich: Nein!. Dein Kern ist ein dreidimensionaler Unterraum vom $\mathbb{R}^{2\times 2}$ und natürlich kannst du diesen angeben, indem du eine beliebige Basis angibst.

Anderes Beispiel: Im $\mathbb{R}^2$ könntest du als eine Basis die Standardbasis $\{(1,0),(0,1)\}$ wählen, aber genauso gut auch $\{(1,1),(1,-1)\}$.

Falls dir das alles nicht klar ist, wiederhole die Defintionen von Vektorraum, Basis, Unterraum, lineare Abbildung, Kern und Bild.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Erlenmeyer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16


Alles klar verstanden.

Werde mir trotzdem nochmal die ganzen Definition anschauen.

Durch die Definition habe ich es nicht herausfinden können, ob diese unterschiedlich seien können. Aber das einfache Beispiel mit
fed-Code einblenden
hätte mir vorher einfallen müssen.



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