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Analysis » Integration » Integralrechnung Substitutionsregel
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Universität/Hochschule J Integralrechnung Substitutionsregel
curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-14


Hallo,

die Aufgabe lautet:

Berechne mit geeigneter Substitution (für positive a und b) das folgende Integral:

$$\int_{a}^{b}\left((x+\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)^{-1} dx \text{ } \text{ }\text{ mit }\text{ } \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \beta>0.$$
Die Musterlösung lautet:

Wir setzen $f(x) :=\left((x+\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)^{-1}$ für $x \in \mathbb{R}$ und $\varphi(t) :=\beta t-\alpha$ für $t \in J :=\mathbb{R} .$ Dann sind die Voraussetzungen von [Satz zur Substitutionsregel] erfüllt, und mit $\alpha^{\prime} :=\frac{a+\alpha}{\beta}$
und $\beta^{\prime} :=\frac{b+\alpha}{\beta}$ gilt

$$\int_{a}^{b}\left((x+\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)^{-1} dx
=\int_{\varphi(\alpha^{\prime})}^{\varphi\left(\beta^{\prime}\right)} f(x) dx=\int_{\alpha^{\prime}}^{\beta^{\prime}} f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) dt$$
$$=\int_{\alpha^{\prime}}^{\beta^{\prime}} \frac{1}{\beta^{2} t^{2}+\beta^{2}} \beta d t=\frac{1}{\beta} \int_{\alpha^{\prime}}^{\beta^{\prime}} \frac{1}{1+t^{2}} d t \quad[\text { wegen } \beta>0]$$
$$=\frac{1}{\beta}\left.\arctan \right|_{\alpha^{\prime}} ^{\beta^{\prime}}=\frac{1}{\beta}\left(\arctan \frac{b+\alpha}{\beta}-\arctan \frac{a+\alpha}{\beta}\right)$$

Also, ich verstehe alles ab $\frac{1}{\beta} \int_{\alpha^{\prime}}^{\beta^{\prime}} \frac{1}{1+t^{2}} dt \ldots$ und ich bin der Meinung, dass ich auch die Regel an sich verstehe, aber ich verstehe nicht die ersten beiden Zeilen der Musterlösung, also insbesondere:

- wie man auf $\varphi(t) :=\beta t-\alpha$ kommt. Welcher Gedanke steckt dahinter?
- wie man auf  $\alpha^{\prime}$ und  $\beta^{\prime}$ kommt
- wieso $\beta>0$ wichtig ist

Freue mich über eine Hilfestellung! Danke schon mal!  :-)

LG



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-14


Hallo,

2019-07-14 16:35 - curious_mind im Themenstart schreibt:

- wie man auf $\varphi(t) :=\beta t-\alpha$ kommt. Welcher Gedanke steckt dahinter?
- wie man auf  $\alpha^{\prime}$ und  $\beta^{\prime}$ kommt


Die Schwierigkeit bei der Integration durch Substitution ist es, eine geeignete Substitution zu finden.
In der Regel ist das alles andere als einfach.
Ich kenne mich mit derartigen Integralen zwar nicht besonders gut aus, aber normalerweise gibt es keine besonders gute Gedanken die man sich machen kann.
Meistens ist es Erfahrungssache.

[Edit: Ich meine das nicht so, dass man sich überhaupt keine Gedanken macht. Sondern durch das bloße ansehen eines Integrals kann man normalerweise nicht auf eine zielführende Substitution schließen, auch wenn es bestimmte 'bekannte' Substitutionen gibt. Probieren gehört bei solchen Aufgaben also praktisch immer dazu.]

Das hier zu lösende Integral ist ein Standardintegral.
Bzw. ist $\int \frac{1}{u^2+1}\, du$ eins.

Das heißt den meisten ist es bekannt, was die Lösung ist und es taucht in Integrationstabellen auf.

Die Idee hier ist also so zu substituieren um deine Aufgabe auf dieses Standardintegral zurückzuführen.



- wieso $\beta>0$ wichtig ist


Wichtig ist eigentlich nur $\beta\neq 0$, da wir ja $\frac{1}{\beta}$ schreiben.
Das sollte also eher 'Komfort' sein.



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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16


Schade, ok, herzlichen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort! :)

Ich bin auch inzwischen drauf gekommen, wie man das errechnet.
Aber auf die Idee bei $\frac{1}{(x+\alpha)^2+\beta^2}$ erstmal im Nenner $\beta^2$ auszuklammern, um dann $\frac{(x+\alpha)^2}{\beta^2}$ mit einem $t^2$ gleichzusetzen, muss man erst mal kommen...



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Vercassivelaunos
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Mitteilungen: 589
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-16

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Aber auf die Idee bei $\frac{1}{(x+\alpha)^2+\beta^2}$ erstmal im Nenner $\beta^2$ auszuklammern, um dann $\frac{(x+\alpha)^2}{\beta^2}$ mit einem $t^2$ gleichzusetzen, muss man erst mal kommen...

Das ist, was PrinzessinEinhorn wohl mit Erfahrung meint. Wenn man weiß, dass $\int\frac{1}{t^2+1}\d t$ ein bekanntes Standardintegral ist, dann sieht man viel eher, dass sich für Funktionen der Form

\[\frac{1}{g(x)^2+\beta^2}\]
eine Substitution anbietet, die das ganze auf die obige Standardform bringt, also $g^2(x)+\beta^2\mapsto t^2+1$ abbildet - und dann hofft man, dass $\varphi'$ das ganze nicht kaputt macht. Man braucht für die Idee halt a) das Wissen um verschiedene Standardintegrale, und b) eine Intuition, wie man Funktionen zu diesen Standardfunktionen transformiert. Das kommt eben beides nicht innerhalb einer Woche zusammen.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-17


Jo. Aber zumindest muss ich mich nicht blöd fühlen, dass ich da nicht gleich drauf gekommen bin.  biggrin



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