Die Mathe-Redaktion - 19.08.2019 08:29 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Sept.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 400 Gäste und 4 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Zeigen bzw. widerlegen von Stetigkeit im ℝ² - Lösung überprüfen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Zeigen bzw. widerlegen von Stetigkeit im ℝ² - Lösung überprüfen
Dynamike
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.04.2019
Mitteilungen: 14
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-15


Hallo, ich würde mich freuen wenn jemand meine Lösungen auf Richtigkeit überprüfen könnte.
Weiterhin habe ich noch eine allgemeine Frage im unteren Bild.
Ergänzend dazu, könntet ihr euch noch weitere Funktionsdefinitionen vorstellen, wo ich mir über die richtige Wahl der Folgen Gedanken machen müsste, um die Stetigkeit zu zeigen?

Bild 1 in hoher Auflösung



Bild 2 in hoher Auflösung




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 591
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-15

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Dynamike,

du hast b) und d) richtig gelöst. Deine Gedanken weiter unten dazu, wie du Stetigkeit hättest zeigen können, sind aber nicht vollständig. Mit dem, was da steht, hättest du lediglich gezeigt, dass $f$ in Punkten der Form $(0,c)$ und $(c,0)$ stetig ist. Du lässt dabei aber $(0,0)$ und Punkte der Form $(x,y),~x,y\neq0$ aus. Auch bei diesen müsstest du die Stetigkeitsbedingung zeigen.

Andere Standardbeispiele unstetiger Funktionen sind Brüche, die oben ein Produkt und unten eine Summe beinhalten, wie

\[f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2y^2}{x^4+y^4}&(x,y)\neq(0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}\]
Oder ein bisschen exotischeres Beispiel, aber trotzdem nicht besonders schwierig:

\[f(x,y)=\begin{cases}
\exp\left(-\frac{x}{x^2+y^2}\right)\cos\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)&(x,y)\neq(0,0)\\
0&(x,y)=(0,0)
\end{cases}\]
Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dynamike
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.04.2019
Mitteilungen: 14
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-15

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, Vercassivelaunos!

2019-07-15 01:41 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:
Deine Gedanken weiter unten dazu, wie du Stetigkeit hättest zeigen können, sind aber nicht vollständig. Mit dem, was da steht, hättest du lediglich gezeigt, dass $f$ in Punkten der Form $(0,c)$ und $(c,0)$ stetig ist. Du lässt dabei aber $(0,0)$ und Punkte der Form $(x,y),~x,y\neq0$ aus. Auch bei diesen müsstest du die Stetigkeitsbedingung zeigen.

Für Stetigkeit in Punkten $(x,y),~x,y\neq0$ lässt sich bei vielen Funktionen schreiben, dass sie stetig als Komposition stetiger Funktionen sind, richtig?

Wenn ich die Folgen in (1) und (2) wiefolgt anpasse, würde es dann passen?

(1)
Sei $Xn$ eine beliebige Nullfolge, mit der Einschränkung, dass $Xn \neq 0$ gilt für alle $n$ aus den natürlichen Zahlen.
Und sei $Yn$ eine beliebige Folge, die gegen c konvergiert, wobei c aus ganz IR (also mit 0) ist. Auch hier die Einschränkung, dass $Yn \neq 0$ gilt für alle $n$ aus den natürlichen Zahlen.

Die Einschränkung, dass $Xn$ und $Yn$ ungleich 0 ist für alle n, habe ich deswegen gewählt, weil wir sonst ja in der Funktionsdefinition
$f(x,y)=0$
wären, aber wir wollen ja (bei dieser speziellen Aufgabe im Bild) in der Funktionsvorschrift $f(x,y)=xy/|xy|$ bleiben, und zeigen, dass  $f(Xn,Yn)$ gegen 0 konvergiert, wenn wir n gegen unendlich laufen lassen.

(2)
Analog zu (1).

Würde nun (1) UND(?) (2) gelten und wäre f stetig als Komposition stetiger Funktionen in den Punkten $(x,y),~x,y\neq0$, dann hätte ich Stetigkeit von der Funktion gezeigt.
Habe ich das nun richtig verstanden so?
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 591
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-15

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Du darfst nicht einfach die Bedingung $x_n,y_n\neq0$ stellen. Die Stetigkeitsbedingung muss für alle Folgen gelten, nicht nur für solche, die nicht den Wert 0 annehmen. Es reicht nicht, bei dem einen Fall der Funktionsdefinition zu bleiben. Es muss die ganze Funktion betrachtet werden, auch der Teil, der als 0 definiert ist.

Im letzten Teil ist die Verwendung von UND falsch. (1) UND (2) heißt einfach nur $x_n\to0$ und $y_n\to0$, was ja bereits sowohl in (1), als auch in (2) behandelt wurde. Ich schätze aber was du meintest ist $x_n\to x\neq0,~y_n\to y\neq0$. Das ist aber WEDER (1), NOCH (2), denn sowohl in (1), als auch in (2) muss mindestens eine der beiden Folgen gegen 0 konvergieren.
Mit der Fallunterscheidung (1), oder (2), oder weder (1) noch (2) hättest du dann auch wirklich alle Fälle abgedeckt. Wenn du weder (1) noch (2) meintest, dann ist auch dein Argument mit der Komposition stetiger Funktionen richtig.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dynamike
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.04.2019
Mitteilungen: 14
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-15


Ich glaube ich habe meine Gedanken falsch formuliert, hoffe aber deine Erklärung richtig verstanden zu haben. Um sicher zu gehen, habe ich mir gerade mal eine simple Aufgabe überlegt. Wenn Du da noch einmal drüberschauen könntest, wäre das echt klasse:

Anmerkung #1: ich weiß, dass ich Stetigkeit im Punkt (0,0) hierbei sowohl in (1) als auch in (2) gezeigt habe, aber das schadet ja nicht)

Anmerkung #2: ich habe das "lim n->unendlich" an zwei Stellen jeweils vor dem Term "Xn * 2Yn" vergessen.




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 591
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-15

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Ja, was du da vorgerechnet hast, ist richtig. Alle Punkte aus $\R^2$ sind so abgedeckt.
Wobei hier ja gar keine Fallunterscheidung in der Abbildungsvorschrift nötig gewesen wäre, da $2xy=0$ falls $x=0$ oder $y=0$. Zur Demonstration des Prinzips ist das aber ja egal.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dynamike
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.04.2019
Mitteilungen: 14
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-15


Stimmt. Nun habe ich es verstanden. Herzlichen Dank für deine Hilfe!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Dynamike hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Dynamike hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]