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Analysis » Integration » Poisson-Kern
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Universität/Hochschule J Poisson-Kern
xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-15

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Guten Abend zusammen.
Ich habe eine dumme Frage.
In meinen Notizen zur Vorlesung wurde der Poisson Kern definiert als:
$\sc{P}_t(x)=\frac{1}{\pi}\frac{t}{t^2+y^2}$ für $t\in \mathbb{R},t>0$ und $y\in \mathbb{R}^n$.

Das macht keinen Sinn, da $y^2\in \mathbb{R}^n$ aber $t^2\in \mathbb{R}$.
Meine Vermutung ist, dass es $\nrm{y}^2$ sein sollte.
Kann das jemand mit Analysis Kenntnissen bestätigen? Oder macht es gar keinen Sinn das für $\mathbb{R}^n$ zu definieren(wird aber in der Vorlesung so gemacht)?






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Poincaré and Erdős went to an étalé party at Čech's
with an adèle and an étale as gifts. Čech was happy.
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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-15


Hi xiao,
anhand des Vorfaktors $\frac{1}{\pi}$ gehe ich davon aus, dass hier tatsächlich $n=1$ ist und dementsprechend $y^2$ im Nenner korrekt ist. Für $n>1$ muss man natürlich die Norm verwenden, wie du schon gesagt hast, um einen sinnvollen Ausdruck zu bekommen. Der Vorfaktor ändert sich dann aber (und der Nenner wird potenziert), siehe en.wikipedia.org/wiki/Poisson_kernel ganz unten.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-15

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Hallo xiao,

ich kenne zwar deine konkrete Anwendung nicht. Aber es wird gelegentlich auch für Vektoren aus $\R^n$ die Notation $y^2=y\cdot y$ mit dem Skalarprodukt $\cdot$ verwendet. Damit ist natürlich $y^2\equiv\Vert y\Vert^2$, solange man die euklidische Norm verwendet.
Zumindest in der Physik wird das manchmal gemacht. In der reinen Mathematik habe ich es allerdings noch nicht gesehen.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-15

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2019-07-15 02:14 - Kornkreis in Beitrag No. 1 schreibt:
Hi xiao,
anhand des Vorfaktors $\frac{1}{\pi}$ gehe ich davon aus, dass hier tatsächlich $n=1$ ist und dementsprechend $y^2$ im Nenner korrekt ist. Für $n>1$ muss man natürlich die Norm verwenden, wie du schon gesagt hast, um einen sinnvollen Ausdruck zu bekommen. Der Vorfaktor ändert sich dann aber (und der Nenner wird potenziert), siehe en.wikipedia.org/wiki/Poisson_kernel ganz unten.
Hallo Kornkreis.
Danke für den Hinweis.
(Der Kontext sind übrigens Hardy Räume.
Wir haben tatsächlich $n$ beliebig betrachtet.
Es wurde
$\sc{M}f(x)\defeq \sup_{y\in \R^n,t>0,\nrm{x-y}<t}\abs{f\ast \sc{P}_t(y)}$ definiert.)
Meine Frage hat sich dadurch erledigt, dass ich jetzt einfach die Definition von Wikipedia nehme.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-15

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2019-07-15 12:06 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo xiao,

ich kenne zwar deine konkrete Anwendung nicht. Aber es wird gelegentlich auch für Vektoren aus $\R^n$ die Notation $y^2=y\cdot y$ mit dem Skalarprodukt $\cdot$ verwendet. Damit ist natürlich $y^2\equiv\Vert y\Vert^2$, solange man die euklidische Norm verwendet.
Zumindest in der Physik wird das manchmal gemacht. In der reinen Mathematik habe ich es allerdings noch nicht gesehen.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
Das ist auch eine interessante Sichtweise.
Aber ich nehme wohl einfach die Definition von Wikipedia.
Vielen Dank euch beiden
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_ hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
xiao_shi_tou_ hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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