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Mathematik » Stochastik und Statistik » Konvergenz in Wahrscheinlichkeit für Gamma-verteilte ZVen
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Universität/Hochschule J Konvergenz in Wahrscheinlichkeit für Gamma-verteilte ZVen
Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-15


Hallo,

hier eine Aufgabe aus dem Buch von Allan Gut.

Sei $X_k \in \Gamma(3,k)$, d.h. mit Dichten $$ f_{X_k}(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{2k^3} e^{-\frac{x}{k}} \quad & \text{for } x > 0, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$ Zeige, dass $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{X_k} - \frac12 \log{n}$$ für $n \to \infty$ in Wahrscheinlichkeit konvergiert.

Als Hinweis ist gegeben, dass man sich an $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \log{n} \xrightarrow{} \gamma$ erinnern soll.

Ich sehe allerdings nicht ganz, wie man diese Aufgabe lösen kann. Das Problem ist wohl, dass ich keinen Grenzwert erraten kann und z.B. auch nicht sehe, wie man zeigt, dass es Cauchy (in Wahrscheinlichkeit) ist.

Vorschläge wären super.  :-)


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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syngola
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-15


Hallo,

Du könntest damit anfangen die Verteilung von <math>1/X_k</math> zu bestimmen. Zum Beispiel über die Transformationsformel oder ganz einfach:

<math>\displaystyle \mathds P(1/X_k\leq t)=1-\mathds P(X_k\leq 1/t)</math>

Ableiten ergibt dann die Dichte von <math>1/X_k</math>. Dafür musst Du die Verteilungsfunktion nicht direkt benutzen, denk aber an die Kettenregel!

Das Ergebnis ist die inverse Gamma-Verteilung. Diese hat für die von Dir noch zu bestimmenden Parameter einen endlichen Erwartungswert (nämlich 1/2k).

Mit der Definition der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und der Markov-Ungleichung solltest Du damit zum Ziel kommen.

Das mal als Fahrplan :D

Hilft Dir das weiter?

Gruß, Peter


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I know it's trivial, but i've forgotten why -- Allan Guth



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16


Ahhh, okay, das sind ja alles keine schwierigen Ideen. Vielen Dank!

Damit sollte ich es hinbekommen, ich melde mich in 1 Woche wieder, wenn ich Zeit für diese Aufgabe habe  :D


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