Die Mathe-Redaktion - 14.10.2019 15:52 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 417 Gäste und 18 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Verwirrende Notation bei Gruppen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Verwirrende Notation bei Gruppen
chicolino
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 05.07.2019
Mitteilungen: 11
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-15


Guten Morgen, ich habe mal eine Frage bezüglich der Notation von Gruppen.

Ich lege viel Wert darauf, eine Gruppe als Tupel $(G, \star)$ zu schreiben. Das hat meiner Meinung nach den Vorteil, dass man weiß, unter welcher Verknüpfung die Menge $G$ eine Gruppe ist.


In vielen Büchern und auch in unserer VL wird die Gruppe $(G, \star)$ mit der Menge $G$ selbst notiert. Diese Schreibweise finde ich persönlich verwirrend.


Wenn man z.B. von der Gruppe $\mathbb{Z_{3}}$ redet, dann weiß man ja nicht, unter welcher Verknüpfung $\mathbb{Z_{3}}$ eine Gruppe bildet. Mit $\oplus$ oder $\odot$? In diesem Fall ist es egal, da $\mathbb{Z_{3}}$ ein Körper bildet.

Aber ich meine ja nur. Daher versuche ich in jedem Satz der VL eine Gruppe und Untergruppe der Gruppe mit einem Tupel zu notieren.


Bei folgender Definition habe ich ein Problem.


__________________________________________________________________


Es sei $(\mathcal{G}, \star)$ eine Gruppe und $M \subseteq G$ eine Teilmenge.

Das Erzeugnis von $M$ ist die Untergruppe

$\langle M \rangle := \bigcap\limits_{M \subseteq \mathcal{UG} \le \mathcal{G}} \mathcal{UG}$,
 d.h. der Schnitt über alle Untergruppen von $\mathcal{G}$, die $M$ enthalten.

___________________________________________________________________



Kann ich diese Definition auch folgendermaßen schreiben (also mit meiner Notation)?



Es sei $(\mathcal{G}, \star)$ eine Gruppe und $M \subseteq G$ eine Teilmenge.

Das Erzeugnis von $M$ ist die Untergruppe

$(\langle M \rangle, \star) := \left ( \bigcap\limits_{M \subseteq \mathcal{UG} \le \mathcal{G}} \mathcal{UG}, \star \right )$,
 d.h. der Schnitt über alle Untergruppen von $\mathcal{G}$, die $M$ enthalten.



Geht das so?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 364
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-15


Hallo,

ja, Untergruppen werden mit der gleichen Verknüpfung gesehen und entsprechend auch erzeugte Gruppen. (Sonst macht das alles gar keinen Sinn.)

Der Grund, dass üblicherweise nur $G$ statt $(G, \circ)$ geschrieben wird, ist, dass normalerweise klar ist, von welcher Verknüpfung die Rede ist.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
qwertzusername
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.06.2015
Mitteilungen: 1317
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-15


Als Zusatz:

$\mathbb Z_3$ mit der Multiplikation ist keine Gruppe. Die 0 hat kein Inverses.



[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Gruppen' von qwertzusername]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
chicolino
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 05.07.2019
Mitteilungen: 11
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-15


2019-07-15 10:05 - Kezer in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

ja, Untergruppen werden mit der gleichen Verknüpfung gesehen und entsprechend auch erzeugte Gruppen. (Sonst macht das alles gar keinen Sinn.)

Der Grund, dass üblicherweise nur $G$ statt $(G, \circ)$ geschrieben wird, ist, dass normalerweise klar ist, von welcher Verknüpfung die Rede ist.


Genau, das weiß ich biggrin Aber mir ist peinlicherweise schon einmal passiert, dass ich kurz nicht wusste, unter welcher Verknüpfung die Menge $G$ eine Gruppe bildet.

Deswegen wollte ich fragen, ob die Definition oben trotzdem richtig ist, obwohl ich die Notation geändert habe?

Weil mit $< M >$ selber meint man, denke ich, den Schnitt aller Teilmengen $UG_{i} \subseteq G$ die $M$ enthalten und durch die Verknüpfung $\star$ eine Gruppe bilden.



2019-07-15 10:18 - qwertzusername in Beitrag No. 2 schreibt:
Als Zusatz:

$\mathbb Z_3$ mit der Multiplikation ist keine Gruppe. Die 0 hat kein Inverses.



[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Gruppen' von qwertzusername]

Ich Depp, klar. Vielen Dank für den Hinweis biggrin



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 364
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-15


Wie schon erwähnt, passt deine Definition schon :)
Mit $\langle M \rangle$ kann man die Menge meinen, aber eben auch wieder wie üblich die Gruppe $(\langle M \rangle, \circ)$.


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
chicolino
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 05.07.2019
Mitteilungen: 11
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-15


Okay, vielen Dank smile Habe ich wohl falsch gelesen.

Vielleicht noch eine letzte Frage zur Notation von Untegruppen.

_________________________________________________________________


Sei $(\mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z}, \oplus)$ eine Gruppe.


Wenn ich ein paar Untergruppen davon bestimme, habe ich beispielsweise

$(2 \mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z}, \oplus)$

$(4 \mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z}, \oplus)$

$(6 \mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z}, \oplus)$


Aber eigentlich darf man diese Untergruppen nicht mit der Verknüpfung $\oplus$ versehen, oder?

Denn eigentlich ist $\oplus$ in diesem Fall die Abbildung

$\oplus: \mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z}, a \oplus b $


Für die erste Untergruppe $(2 \mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z}, \oplus)$ müssten wir z.B. statt $\oplus$ die Abbildung

$\oplus_{1}: 2 \mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z} \rightarrow 2 \mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z}, a \oplus b$ verwenden

Dann hätten wir $(2 \mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z}, \oplus_{1})$




Für die zweite Untergruppe $(4 \mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z}, \oplus)$ müssten wir z.B. statt $\oplus$ die Abbildung

$\oplus_{2}: 4 \mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z} \rightarrow 4 \mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z}, a \oplus b$ verwenden

Dann hätten wir $(4 \mathbb{Z}/{12} \mathbb{Z}, \oplus_{2})$


Und so weiter...

Oder? Das ist ein wenig mehr Arbeit, wenn man die Gruppen mit Tupeln notieren will.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kezer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 364
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-15


Puuh, wenn du es so streng sehen möchtest, dass $(G, \circ)$ eine Gruppe ist mit einer Abbildung $\circ : G \times G \to G$, dann ist natürlich die Abbildung auf einer Untergruppe $U$ die entsprechende Einschränkung von $\circ$, ja, da hast du schon Recht.

Korrektur aber: Es ist $+ : \mathbb{Z}/12 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/12 \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/12 \mathbb{Z}$, nicht $+ : \mathbb{Z}/12 \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/12 \mathbb{Z}$.

Aber wer bisschen mehr mit Gruppen gearbeitet hat, wird Gruppen wirklich nur mit $G$ notieren. Natürlich kannst du aber am Anfang noch genau Buchführung über die Verknüpfungen machen, das ist schon OK. (Beachte, dass du auch $+$ im Bezug auf $\mathbb{R}$ genauso verwendet wie mit $\mathbb{Z}$. Wieso also hier nicht $+_1$ und $+_2$?)

Das könnte man vielleicht hiermit vergleichen: In der 7. Klasse haben wir in der Schule das Rechnen mit Variablen gelernt und dort hat meine Lehrerin gemeint, man wird später $ab := a \cdot b$ abkürzen. Wir würden merken, dass wir das auch machen werden. Zunächst war ich stutzig und habe überall fleißig meine Pünktchen gesetzt, aber irgendwann bin ich tatsächlich auf die "Kurzschreibweise" umgestiegen.



-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 981
Aus: Grothendieck Universum
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-15

\(\begingroup\)\( \DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\HF}{HF} \DeclareMathOperator{\HS}{HS} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} \DeclareMathOperator{\mod}{mod} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Nm}{Nm} \DeclareMathOperator{\Con}{Con} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Emb}{Emb} \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} \DeclareMathOperator{\scale}{scale} \DeclareMathOperator{\Sper}{Sper} \DeclareMathOperator{\Sp}{Sp} \DeclareMathOperator{\vol}{vol} \DeclareMathOperator{\Cl}{Cl} \DeclareMathOperator{\Ét}{Ét} \DeclareMathOperator{\lcm}{lcm} \DeclareMathOperator{\ord}{ord} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \DeclareMathOperator{\rad}{rad} \DeclareMathOperator{\lim}{lim} \DeclareMathOperator{\char}{char} \DeclareMathOperator{\Proj}{Proj} \DeclareMathOperator{\length}{length} \DeclareMathOperator{\locArt}{locArt} \DeclareMathOperator{\Ass}{Ass} \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\Pic}{Pic} \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\ker}{ker} \DeclareMathOperator{\ht}{ht} \newcommand{\Ga}{\mathbb{G}_a} \newcommand{\G}{\mathbb{G}} \newcommand{\Gm}{\G_m} \newcommand{\ISLn}{\mathbb{S}\mathbb{L}_n} \newcommand{\tfae}{\textbf{T.F.A.E.}} \newcommand{\ndownlong}[2]{#1\ -\!\!\!\rightharpoonup\!\leftharpoondown\!\to\! #2} \newcommand{\shso}{\udl{\text{Sheaves on}}} \newcommand{\shs}{\udl{\text{Sheaves}}} \newcommand{\ush}[1]{\udl{\text{Sheaf}}(#1)} \newcommand{\sh}{\udl{\text{Sheaf}}} \newcommand{\rr}{/\!\!/} \newcommand{\EE}{\mathscr{E}} \newcommand{\V}{\mathbb{V}} \newcommand{\OX}{\c{O}_X} \newcommand{\KK}{\mathbb{K}} \newcommand{\lims}{\limsup_{n\to \infty}} \newcommand{\proof}{\underline{\color{orange}{\mathscr{P}\!roof}\colon}} \newcommand{\Bew}{\underline{\color{orange}{\mathscr{B}\!eweis}\colon}} \newcommand{\defeq}{\overset{\mathscr{D}\mathscr{e}\mathscr{f}.}{=\!=}} \newcommand{\set}[2]{\{#1\mid #2\}} \newcommand{\SS}{\mathscr{S}} \newcommand{\FF}{\mathscr{F}} \newcommand{\DD}{\mathscr{D}} \newcommand{\dyadksum}[1]{\sum_{I\in \DD_k,I\sube J}#1} \newcommand{\noem}{\not=\emptyset} \newcommand{\DD}{\c{D}} \newcommand{\BB}{\mathscr{B}} \newcommand{\Pr}{\ff{P}} \newcommand{\exact}[3]{0\to #1\to #2\to#3\to 0} \newcommand{\qed}{\underline{\color{orange}{\mathfrak{Q}}.\color{orange}{\mathfrak{E}}.\color{orange}{\mathfrak{D}}.}} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\wh}[1]{\widehat{#1}} \newcommand{\spr}[1]{\Sper(#1)} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\sp}[1]{\Spec(#1)} \newcommand{\nuplong}[2]{#1\ -\!\!\!\rightharpoondown\!\leftharpoonup\!\to\! #2} \newcommand{\ndownloong}[2]{#1 -\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup\!\leftharpoondown\!\!\!\longrightarrow \!#2} \newcommand{\bop}{\bigoplus} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\lxen}{\langle x_1\cos x_n\rangle} \newcommand{\Xen}{[X_1\cos X_n]} \newcommand{\xen}{[x_1\cos x_n]} \newcommand{\ip}{\langle -,- \rangle} \newcommand{\ipr}[2]{\langle #1,#2 \rangle} \newcommand{\vth}{\vartheta} \newcommand{\pprod}{\prod_{v\in\ff{M}_\K}} \newcommand{\pfam}[1]{(#1)_{v\in\ff{M}_\K}} \newcommand{\finfam}[1]{(#1)_{i=1}^n} \newcommand{\fam}[1]{(#1)_{i\in I}} \newcommand{\jfam}[1]{(#1)_{j\in J}} \newcommand{\kfam}[1]{(#1)_{k\in K}} \newcommand{\nfam}[1]{(#1)_{i=1}^n} \newcommand{\nifam}[1]{(#1)_{n=0}^\infty} \newcommand{\udl}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\Uij}{U_i\cap U_j} \newcommand{\vpi}{\varphi_i} \newcommand{\vpj}{\varphi_j} \newcommand{\vph}{\varphi} \newcommand{\psij}{\psi_{i,j}} \newcommand{\CC}{\c{C}} \newcommand{\nsum}{\sum_{n\in\N}} \newcommand{\twist}[1]{\c{O}_{\mathbb{P}_k^n}(#1)} \newcommand{\prj}[1]{\Proj (#1)} \newcommand{\part}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\kxn}{k[x_0,\pts,x_n]} \newcommand{\ques}{\underline{\c{Q}\!uestion\colon}} \newcommand{\answ}{\underline{\sc{A}\!nswer\colon}} \newcommand{\ka}{\kappa} \newcommand{\pr}{\mathfrak{p}} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1\right|} \newcommand{\ab}{\left|-\right|} \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\KX}{K[X]} \newcommand{\cov}{\c{U}} \newcommand{\ff}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} \newcommand{\half}{\frac{1}{2}} \newcommand{\ANF}{K/\Q} \newcommand{\GFF}{F/{\F_p(t)}} \newcommand{\Os}{\mathcal{O}_{S,s}} \newcommand{\lineb}{\c{L}} \newcommand{\cyclm}{\Q(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\cyclmK}{K(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\LX}{L[X]} \newcommand{\GG}{\sc{G}} \newcommand{\OS}{\mathcal{O}_S} \newcommand{\bb}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\OY}{\mathcal{O}_Y} \newcommand{\vdp}{\sc{V}\!an\text{ }der\text{ }\sc{P}\!ut} \newcommand{\weierstrass}{\sc{W}\!eierstraß} \newcommand{\runge}{\sc{R}\!unge} \newcommand{\glX}{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)} \newcommand{\glY}{\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y)} \newcommand{\finKX}{f\in K[X]} \newcommand{\ser}[1]{\sm{n=0}{\infty}{#1}} \newcommand{\sm}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\sum}} #3} \newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\sube}{\subseteq} \newcommand{\hk}{\hookrightarrow} \newcommand{\OYy}{\mathcal{O}_{Y,y}} \newcommand{\supe}{\supseteq} \newcommand{\resy}{\kappa(y)} \newcommand{\LK}{L/K} \newcommand{\iso}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\isom}[3]{#1\overset{#2}{\iso}#3} \newcommand{\kn}{k^n} \newcommand{\kvec}{\textbf{vect}(k)} \newcommand{\fkvec}{\textbf{vect}_{<\infty}(k)} \newcommand{\fz}{f(X)=0} \newcommand{\KIsom}{L\underset{K}{\overset{\sim}{\to}} L} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\L}{\mathbb{L}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\ad}{\A_k} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p} \newcommand{\Qp}{\mathbb{Q}_p} \newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}_q} \newcommand{\Fp}{\mathbb{F}_p} \newcommand{\I}{[0,1]} \newcommand{\In}{[0,1]^n} \newcommand{\Fpn}{\mathbb{F}_{p^n}} \newcommand{\Fpm}{\mathbb{F}_{p^m}} \newcommand{\Zn}{\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}} \newcommand{\Zx}[1]{\mathbb{Z}/{#1\mathbb{Z}}} \newcommand{\md}[3]{#1\equiv #2\pmod{#3}} \newcommand{\ga}{\Gal(L/K)} \newcommand{\aga}[1]{\Gal(\overline{#1}/#1)} \newcommand{\sga}[1]{\Gal(#1^{sep}/{#1})} \newcommand{\gal}[2]{\Gal(#1/{#2})} \newcommand{\c}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\skw}{\{\tau\}} \newcommand{\limes}[1]{\underset{i\in I}{\varprojlim{#1_i}}} \newcommand{\IGLn}{\mathbb{G}\mathbb{L}_n} \newcommand{\IGL}{\mathbb{G}\mathbb{L}} \newcommand{\Co}[2]{H^p(#1,#2)} \newcommand{\OK}{\mathcal{O}_K} \newcommand{\OL}{\mathcal{O}_L} \newcommand{\res}[1]{\kappa(#1)} \newcommand{\resx}{\kappa(x)} \newcommand{\lTen}{\langle T_1\cos T_n\rangle} \newcommand{\lXen}{\langle X_1\cos X_n\rangle} \newcommand{\Te}{[T]} \newcommand{\Tee}{[T_1,T_2]} \newcommand{\Teee}{[T_1,T_2,T_3]} \newcommand{\Ten}{[T_1\cos T_n]} \newcommand{\Tem}{[T_1\cos T_m]} \newcommand{\pts}{\cdots} \newcommand{\pt}{\cdot} \newcommand{\hm}[3]{\Hom_{#1}(#2,#3)} \newcommand{\hom}[2]{\Hom(#1,#2)} \newcommand{\dash}{\dashrightarrow} \newcommand{\schemes}{\bb{(Sch)}} \newcommand{\groups}{\bb{(Grp)}} \newcommand{\rings}{\bb{(Ring)}} \newcommand{\tx}[1]{\text{ #1 }} \newcommand{\mm}{\ff{m}} \newcommand{\zkinfsum}{\sum_{k=0}^\infty} \newcommand{\ziinfsum}{\sum_{i=0}^\infty} \newcommand{\zjinfsum}{\sum_{j=0}^\infty} \newcommand{\asum}[1]{\sum_{\a\in\N^n}#1 X^\a} \newcommand{\arr}[3]{#1\overset{#2}{\to} #3} \newcommand{\nrm}[1]{\left\|#1\right\|} \newcommand{\nr}{\nrm{-}} \newcommand{\ext}[2]{#1/{#2}} \newcommand{\lam}{\lambda} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\g}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\vp}{\varphi} \newcommand{\p}{\phi} \newcommand{\bul}{\bullet} \newcommand{\t}{\tau} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\tms}{\times\pts\times} \newcommand{\ot}{\otimes} \newcommand{\ots}{\otimes\pts\otimes} \newcommand{\pls}{+\pts +} \newcommand{\cos}{,\pts,} \newcommand{\op}{\oplus} \newcommand{\ops}{\oplus\pts\oplus} \newcommand{\cr}{\circ} \newcommand{\crs}{\circ\pts\circ} \newcommand{\sc}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\scal}[2]{\sc{#1}{\!#2}} \newcommand{\ov}[2]{\begin{matrix}#1 \\ #2\end{matrix}} \)
Hallo.

Natürlich hat kein Mensch Lust darauf - und es würde alles sehr unübersichtlich machen - wenn man zum Beispiel immer $(R^\tm,\pt)$ für die multiplikative Gruppe des Rings $R$ schreiben würde und es ist ohnehin klar, dass nur die Multiplikativität als Gruppenstruktur in Frage kommt. Anders verhält es sich, wenn mehr als eine Gruppenverknüpfungen in Frage kommen. Dann sollte man das gewiss hervorheben.

Grundsätzlich finde ich es aber ganz und gar nicht verwerflich präzise zu sein. Deine Definition wird dadurch nicht falsch, dass du explizit die Gruppenverknüpfung hinschreibst. Nur irgendwann wird es dir selbst zu aufwendig werden, vor allem wenn dir dann schon klar ist was die Verknüpfung ist.
Schlimmer sind selbstverständlich die Leute die alles nur "soso" machen.

Anmerkungen zur Notation
Die Folgende Notation ist standard:
$\bul\circ$ - Verknüpfung einer Gruppe
TeX
\circ

$\bul\langle M \rangle$ - Die von $M$ erzeugte Untergruppe
TeX
\langle M \rangle

$\bul\Z_3$ - Ring der $3$-adischen Zahlen
$\bul  \Z/{3\Z}=\Z/3=\Z/(3)$ - Die additive Quotientengruppe oder wenn $n$ keine Primzahl ist dann kann $\Z/n$ auch den Ring Quotientenring bezeichnen.
$\bul\F_3=(\Z/{3},+,\pt)$ - Endlicher Körper mit $3$ Elementen.
$\bul\oplus$ - Die Direkte Summe Abelscher Gruppen oder Moduln. Dieses Symbol sollte nicht als Gruppenverknüpfung verwendet werden.

Bemerkung zur Definition der Untergruppe
Die Definition einer Untergruppe als Teilmenge zusammen mit einer Einschränkung der Gruppenverknüpfung ist höchst fragwürdig, obwohl es in fast jedem Buch so definiert wird. Es gibt sehr viele ernsthafte Gründe die gegen diese alt-etablierte Definition sprechen.

Die korrekte Definition ist:
Eine Untergruppe $U$ von $G$ ist eine Gruppe $U$ zusammen mit einem injektiven Gruppenhomomorphismus $i\colon U\hk G$.

Dennoch kannst du gerne erstmal mit der herkömmlichen Definition arbeiten wenn dich das hier verwirrt, es wird keine großen Probleme bereiten.

Abuse of notation
In der Mathematik ist ein "Abuse of notation" nichts ungewöhnliches.
Manchmal ist er sinnvoll, an anderer Stelle eher verwirrend.
Wie ausführlich man sich an Notationen hält ist jedermanns eigene Sache. Viel schlimmer finde ich den Abuse die unterliegende Menge eines algebraischen Objekts nicht von dem Objekt zu unterscheiden, denn das sind grundverschiedene Sachen.






 


-----------------
”绳锯木断,水滴石穿“
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
chicolino hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
chicolino hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]