Die Mathe-Redaktion - 21.08.2019 16:49 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Sept.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 493 Gäste und 23 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » uneigentliche Integrale » Konvergenz eines uneigentlichen Integrals
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Konvergenz eines uneigentlichen Integrals
e365benjamin
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 14.06.2019
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-16


Die Frage ist:
Untersuchen Sie das folgende uneigentliche Integral auf Konvergenz
\[\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx\] Die Antwort ist sorgfältig zu begründen!

Ich komme an dieser Aufgabe nicht weiter.
Ich habe versucht das Integral aufzuteilen in
\[\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx=\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx\] \[\leq\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx=2\sqrt{c}+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx\]
Bei dem zweiten Summanden weiß ich nicht wie ich den abschätzen soll.
Ich wäre über eure Hilfe dankbar smile



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1618
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-16

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

ich glaube, du machst das hier zu kompliziert, offensichtlich in der Hoffnung, dass das Integral konvergent ist ist. Außerdem ist deine Abschätzung per Quadratwurzel ganz offensichtlich falsch.

Denke einmal in die andere Richtung und schätze gegen einen divergenten Integranden nach unten ab.  smile

Im Prinzip muss sich der Integrand in dieser Frage doch verhalten wie eine Potenzfunktion vom Grad \(-3/2\)...


Sorry, mir ist hier ein Denkfehler unterlaufen. Natürlich ist das Integral konvergent. Für die zweite Abschätzung könntest du doch die \(+x\) unter den Tisch fallen lassen...

@Kuestenkind: vielen Dank für deinen Hinweis in #2 auch auf diesem Weg.  smile


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'uneigentliche Integrale' von Diophant]
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1408
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-16


2019-07-16 12:31 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
ich glaube, du machst das hier zu kompliziert, offensichtlich in der Hoffnung, dass das Integral konvergent ist ist.

Ich halte diese Hoffnung für durchaus berechtigt.

Gruß,

Küstenkind

PS: Die Konvergenz kannst du denn mit Diophant klären. Für den geneigten Leser berechnet sich das Integral über eine Substitution:

\(\displaystyle \mathcal{I}=\int_0^{\infty}\frac{\dd x}{\sqrt{x^3+x}}\stackrel{t:=x^2}{=}\frac{1}{2}\int_0^{\infty}\frac{t^{-\frac{3}{4}}\, \dd t}{(1+t)^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\operatorname{B}\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)}{2\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{\left(\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)\right)^2}{2\sqrt{\pi}}=\sqrt{2}\varpi
\)
welches sich zu ungefähr \(3,708\) berechnet.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
e365benjamin
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 14.06.2019
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-16


Hallo Diophant und Kuestenkind danke für eure Antworten.

Stimmt, bei dem anderen Summanden lässt man dann einfach x wegfallen.

\[\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx=\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx\] \[\leq\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx=2\sqrt{c}+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3+x}}dx\] \[\leq\lim_{\alpha\to 0}\int_{\alpha}^{c}\frac{1}{\sqrt{x}}dx+\lim_{\beta\to\infty}\int_c^{\beta}\frac{1}{\sqrt{x^3}}dx=2\sqrt{c}+\frac{2}{\sqrt{c}}\]
Somit ist das Integral konvegent.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
fjkd787
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.04.2019
Mitteilungen: 13
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-16


Ich hätte folgenden Vorschlag:

fed-Code einblenden



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
e365benjamin hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
e365benjamin hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
e365benjamin wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]