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Physik » Relativitätstheorie » Energieerhaltung relativistische Bewegung im Potential
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Autor
Universität/Hochschule J Energieerhaltung relativistische Bewegung im Potential
supcro
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.01.2016
Mitteilungen: 30
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-17


Hallo zusammen,

kann mir jemand bei folgender simplen Fragestellung weiterhelfen:

Ich möchte zeigen, dass die Energie

\(E = m\gamma + V(x)\)

unter der Bewegungsgleichung

\(\frac{\mathrm{d}(m\gamma v)}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}\)

eine Erhaltungsgröße ist mit \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\) und \(\mathrm{d}x = v\mathrm{d}t\).

Ich rechne jetzt schon ewig rum und komme nicht drauf. Vielleicht kann mich jemand erlösen^^


Liebe Grüße
supcro


PS: Inhaltliche Einordnung: Ich habe mein Studium abgeschlossen und schreibe gerade an einem Buch, in dem ich die Rechnung zeigen möchte.



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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 583
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-17


Hallo supcro,

es ist$$
{\mathrm d\over\mathrm dt}\,\Bigl[m\gamma+V(x)\Bigr]=
\frac{m\,v\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}+V'(x)\,v=
\frac{m\,v\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}
-\frac{m\,v\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}=0
$$wegen$$
-V'(x)={\mathrm d\over\mathrm dt}\,m\gamma v=
m\left[\frac{v^2\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}+
       \frac{\dot v}{\sqrt{1-v^2}}\right]=
\frac m{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}\Bigl[
  v^2\,\dot v+(1-v^2)\,\dot v\Bigr]=
\frac{m\,\dot v}{\sqrt{1-v^2}^{\,3}}\;.
$$
Du findest diese Rechnung aber auch in so gut wie jedem Buch oder Skript zur relativistischen Mechanik, so etwa im ersten Google-Treffer zu den Stichworten "relativistisches Teilchen Potential Energieerhaltung" im Vorspann zu Gleichung (9.19).

--zippy



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supcro
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.01.2016
Mitteilungen: 30
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-17


super, vielen vielen Dank! Genau das hatte ich gesucht. Das \(\gamma^3\) ausklammern und somit den \(1 - v^2\) Term zu bekommen hatte mir gefehlt.

Ja, ich weiß, hatte gestern so einen blinden Tag^^

Du hast mir sehr geholfen, vielen Dank!



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