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Mathematik » Geometrie » Prüfen, ob bestimmte Mengen Inzidenzgeometrien sind
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Universität/Hochschule J Prüfen, ob bestimmte Mengen Inzidenzgeometrien sind
Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-20


Guten Morgen an alle :-D

Ich sitze seit einer guten Weile vor folgender Aufgabe:







Sie ist bestimmt nicht schwierig, aber ich weiß nicht genau, wie ich die Aufgabe angehen soll.

Ich komme nicht einmal bei der ersten Teilaufgabe weiter. Wenn ich die hätte, dann hätte ich vielleicht eine Idee bei den restlichen zwei Teilaufgaben.

Aber nun zu ersten
__________________


Da muss ich zeigen, dass $R^{2}$ mit den gewöhnlichen Geraden eine Inzidenzgeometrie bildet mit (EuP).

(EuP) Euklidisches/Parabolisches Parallelenaxiom:

Zu jeder Geraden $l$ und jedem Punkt $P \in l$ existiert genau eine Gerade $l'$ mit $P \in l'$ mit $P \in l'$ und $l\; \vert \vert l'$



Dabei habe ich ein paar Fragen:


1. Frage
_________

Was meint in diesem Fall mit gewöhnlichen Geraden? Einfach Geraden der Form $mx + b$ oder spezielle Geraden?


2. Frage
_________

Wie kann ich beweisen, dass $R^{2}$ mit den gewöhnlichen Geraden eine Inzidenzgeometrie bildet?

Wir haben die Inzidenzgeometrie so definiert:





Aber diese Axiome gelten offensichtlich.  Das ist so "trivial" (ich weiß, nichts ist in der Mathematik trivial :-D ), dass ich nicht weiß, wie ich die Axiome nachprüfen soll.

Kann mir da jemand dabei helfen?


ich denke, dass ich die Gültigkeit von EuP beweisen kann, wenn ich erst einmal gesehen habe, wie man die Axiome für die Inzidenzgeometrie nachweist.


Ich wäre für jede Hilfe dankbar.





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abzaehlbar
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-20


Hallo Benni97,

zu deinen Fragen:

(1) Wenn du von Geraden der Form \(mx + b\) sprichst, musst du erst einmal definieren, in welchen Mengen die Punkte \(m,x,b\) überhaupt liegen. Und damit deine Gerade auch wirklich eine Gerade (sprich eine Menge) ist, solltest du die Mengenschreibweise benutzen. Idealerweise sollte deine Gerade zudem nicht nur aus einem einzigen Punkt bestehen, mindestens einer deiner gewählten Punkte sollte also nicht fest sein. Hier ein Beispiel für eine Gerade in \(\mathbb{R}^2: G = \{\lambda*(2,1) + (0,1) | \lambda \in \mathbb{R} \}\). Was wären hier \(m,x,b\)? Und wie sähe die Menge aus, wenn ich anstatt \((2,1)\) den Punkt \((0,0)\) gewählt hätte? Oder wenn \(\lambda \in [0,1]\) gälte? Findest du so nun eine allgemeine Darstellung aller Geraden in \(\mathbb{R}^2\)?

(2) Dass die Axiome in \(\mathbb{R}^2\) so offensichtlich gelten kannst du dir anschaulich dadurch erklären, dass die Idee von Inzidenzgeometrien ist, bestimmte Eigenschaften von \(\mathbb{R}^2\) zu verallgemeinern. Die Gültigkeit musst du trotzdem nachweisen, dazu einige Ideen:

(I1) Wähle zwei verschiedene Punkte und konstruiere dazu eine Gerade, die durch beide Punkte geht. Nimm jetzt eine weitere Gerade die durch beide Punkte geht, und weise nach, dass sie mit deiner soeben konstruierten Geraden übereinstimmt.

(I2) Wähle eine beliebige Gerade, und zeige, dass du zwei verschiedene Punkte auf ihr findest.

(I3) Hier kannst du eine konkrete Gerade (sprich mit Zahlenwerten) angeben, und darauf zwei verschiedene Punkte wählen, die es nach (I2) auf jeden Fall geben muss. Finde jetzt einen weiteren Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt (was du natürlich ebenfalls kurz nachweisen solltest), und du bist fertig.

Viele Grüße
abzaehlbar



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doglover
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-20


Hallo zusammen,

nur ein kurzer Zusatzhinweis: Nicht alle Geraden im $\mathbb{R}^2$ haben eine Darstellung der Form $y=f(x)=m\cdot x+b$. Denn alle Geraden dieser Form wären insbesondere als Funktionen darstellbar. Aber Geraden die parallel zur y-Achse sind, können nicht als Funktion dargestellt werden. Aus der Schule sollte bekannt sein (?), dass jede Gerade im $\mathbb{R}^2$ durch einen Aufsatzpunkt $\vec{a}$ und einen Richtungsvektor $\vec{v}$ festgelegt wird. $\vec{v}$ muss eine bestimmte Bedingung erfüllen (siehe abzaehlbars Beitrag) damit es sich wirklich um eine Gerade handelt.
Versuche also nochmal mit unseren Hinweisen eine genaue Definition einer Geraden im $\mathbb{R}^2$ zu geben mit der du dann arbeiten kannst.

Definition: Eine Teilmenge $G\subseteq \mathbb{R}^2$ heißt eine Gerade, wenn es ...

Viele Grüße

doglover



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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-20


2019-07-20 13:13 - abzaehlbar in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Benni97,

zu deinen Fragen:

(1) Wenn du von Geraden der Form \(mx + b\) sprichst, musst du erst einmal definieren, in welchen Mengen die Punkte \(m,x,b\) überhaupt liegen. Und damit deine Gerade auch wirklich eine Gerade (sprich eine Menge) ist, solltest du die Mengenschreibweise benutzen. Idealerweise sollte deine Gerade zudem nicht nur aus einem einzigen Punkt bestehen, mindestens einer deiner gewählten Punkte sollte also nicht fest sein. Hier ein Beispiel für eine Gerade in \(\mathbb{R}^2: G = \{\lambda*(2,1) + (0,1) | \lambda \in \mathbb{R} \}\). Was wären hier \(m,x,b\)? Und wie sähe die Menge aus, wenn ich anstatt \((2,1)\) den Punkt \((0,0)\) gewählt hätte? Oder wenn \(\lambda \in [0,1]\) gälte? Findest du so nun eine allgemeine Darstellung aller Geraden in \(\mathbb{R}^2\)?

(2) Dass die Axiome in \(\mathbb{R}^2\) so offensichtlich gelten kannst du dir anschaulich dadurch erklären, dass die Idee von Inzidenzgeometrien ist, bestimmte Eigenschaften von \(\mathbb{R}^2\) zu verallgemeinern. Die Gültigkeit musst du trotzdem nachweisen, dazu einige Ideen:

(I1) Wähle zwei verschiedene Punkte und konstruiere dazu eine Gerade, die durch beide Punkte geht. Nimm jetzt eine weitere Gerade die durch beide Punkte geht, und weise nach, dass sie mit deiner soeben konstruierten Geraden übereinstimmt.

(I2) Wähle eine beliebige Gerade, und zeige, dass du zwei verschiedene Punkte auf ihr findest.

(I3) Hier kannst du eine konkrete Gerade (sprich mit Zahlenwerten) angeben, und darauf zwei verschiedene Punkte wählen, die es nach (I2) auf jeden Fall geben muss. Finde jetzt einen weiteren Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt (was du natürlich ebenfalls kurz nachweisen solltest), und du bist fertig.

Viele Grüße
abzaehlbar



Erst einmal sehr vielen Dank für deine schnelle und ausführliche Antwort.




Zu (1)
_______


Die allgemeine Darstellung aller Geraden in $\mathbb{R}^{2}$ wäre doch die Menge $G:= \{ \lambda \cdot (a,b) + (c,d)\; \vert \; a,b,c,d, \lambda \in \mathbb{R} \}$

Das meint man also mit "gewöhnlichen Geraden"?



Ich habe also die Menge aller Geraden von $ \mathbb{R}$ nach $ \mathbb{R}^{2}$.

 Ich dachte eigentlich, dass wir Geraden von $ \mathbb{R}$ nach $ \mathbb{R}$ betrachten.


____________________________________________________________________

Ich versuche die $I1$ zu zeigen:


Sei $p := \left(\begin{array}{c}p_{1}\\p_{2}\end{array}\right)$ und $q := \left(\begin{array}{c}q_{1}\\q_{2}\end{array}\right)\in \mathbb{R}^{2}$ mit $p \neq q$.

 
Sei $g:  \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \lambda \mapsto \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\end{array}\right)$ eine Gerade, die durch die Punkte $p$ und $q$ geht.


 
Sei $h:  \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \lambda \mapsto \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}c_{1}\\c_{2}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}d_{1}\\d_{2}\end{array}\right)$ eine weitere Gerade, die durch die Punkte $p$ und $q$ geht.


Zu zeigen ist nun $\left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}c_{1}\\c_{2}\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}d_{1}\\d_{2}\end{array}\right)$


Richtig, so weit?


Dann habe ich noch einen Tipp bekommen:

Es gilt doch:

$g(\lambda_{1})  = h(\lambda_{1}) \Leftrightarrow   \lambda_{1} \cdot \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\end{array}\right) = \lambda_{1} \left(\begin{array}{c}c_{1}\\c_{2}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}d_{1}\\d_{2}\end{array}\right) $


$g(\lambda_{2})  = h(\lambda_{2}) \Leftrightarrow   \lambda_{2} \cdot \left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\end{array}\right) = \lambda_{2} \left(\begin{array}{c}c_{1}\\c_{2}\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}d_{1}\\d_{2}\end{array}\right) $



Aber ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ich damit anfangen soll...


Zu I2 und I3 überlege ich mir noch was.






2019-07-20 13:43 - doglover in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo zusammen,

nur ein kurzer Zusatzhinweis: Nicht alle Geraden im $\mathbb{R}^2$ haben eine Darstellung der Form $y=f(x)=m\cdot x+b$. Denn alle Geraden dieser Form wären insbesondere als Funktionen darstellbar. Aber Geraden die parallel zur y-Achse sind, können nicht als Funktion dargestellt werden. Aus der Schule sollte bekannt sein (?), dass jede Gerade im $\mathbb{R}^2$ durch einen Aufsatzpunkt $\vec{a}$ und einen Richtungsvektor $\vec{v}$ festgelegt wird. $\vec{v}$ muss eine bestimmte Bedingung erfüllen (siehe abzaehlbars Beitrag) damit es sich wirklich um eine Gerade handelt.
Versuche also nochmal mit unseren Hinweisen eine genaue Definition einer Geraden im $\mathbb{R}^2$ zu geben mit der du dann arbeiten kannst.

Definition: Eine Teilmenge $G\subseteq \mathbb{R}^2$ heißt eine Gerade, wenn es ...

Viele Grüße

doglover


Oh, natürlich. Das vergesse ich leider zu oft.

Ich weiß aber nicht genau, welche bestimmte Bedingung $v$ erfüllen soll. Ich meine, $v$ ist doch nur ein Vektor aus dem $\mathbb{R}^{2}$.

Ich kann einfach einen beliebigen Vektor $v$ nehmen confused



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-20


2019-07-20 16:49 - Benni97 in Beitrag No. 3 schreibt:
Zu (1)
_______


Die allgemeine Darstellung aller Geraden in $\mathbb{R}^{2}$ wäre doch die Menge $G:= \{ \lambda \cdot (a,b) + (c,d)\; \vert \; a,b,c,d, \lambda \in \mathbb{R} \}$

Das meint man also mit "gewöhnlichen Geraden"?
Im Prinzip ja, aber bei Deiner Definition fehlt noch eine Unterscheidung zwischen $a,b,c,d$ und $\lambda$. Besser wäre $G_{a,b,c,d}:= \{ \lambda \cdot (a,b) + (c,d)\; \vert \; \lambda \in \mathbb{R} \}$. Außerdem ergibt nich jede Wahl von $a,b,c,d$ eine Gerade und dann fehlt noch ein Kriterium, wann zwei Gerade $G_{a,b,c,d}$ und $G_{r,s,t,u}$ gleich sind.

Zu zeigen ist nun $\left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}c_{1}\\c_{2}\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}d_{1}\\d_{2}\end{array}\right)$
Richtig, so weit?
Nein, siehe oben. Es gilt z.B. $\{(0,0)+\lambda (1,1)\mid \lambda \in\IR\}=\{(1,1)+\mu (2,2)\mid \mu \in\IR\}$

Der erste Schritt bei der Aufgabe sollte die Definiton von $\mathcal{E},\mathcal{L}$ sein. Für 2),3) habt Ihr diese anscheinend in der Vorlesung gemacht. Nach dieser Vorlage kannst Du dann $\mathcal{E},\mathcal{L}$ für 1) definieren.



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Benni97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-20




Im Prinzip ja, aber bei Deiner Definition fehlt noch eine Unterscheidung zwischen $a,b,c,d$ und $\lambda$. Besser wäre $G_{a,b,c,d}:= \{ \lambda \cdot (a,b) + (c,d)\; \vert \; \lambda \in \mathbb{R} \}$. Außerdem ergibt nich jede Wahl von $a,b,c,d$ eine Gerade und dann fehlt noch ein Kriterium, wann zwei Gerade $G_{a,b,c,d}$ und $G_{r,s,t,u}$ gleich sind.


Dass nicht jede Wahl von $a,b,c,d$ eine Gerade gibt, wundert mich. Habe nie richtig darüber nachgedacht. Was wäre ein Beispiel dafür?

Naja, zwei Geraden $G_{a,b,c,d}$ und $G_{r,s,t,u}$ sind gleich, wenn ihre  Mengen gleich sind.

Aus der Schule weiß ich, dass dafür die beiden Eigenschaften


1) die Richtungsvektoren $(a,b)$ und $(r,s)$ linear abhängig ist, also $(a,b) = t \cdot (r,s)$

2) Der Aufpunkt von $G_{a,b,c,d}$, also $(c,d)$ liegt in $G_{r,s,t,u}$ oder umgekehrt.


erfüllt sein müssen.

ich weiß aber nicht, wie ich diese Eigenschaften in die Menge als Bedingung schreiben kann. Oder geht es auch einfacher?





Der erste Schritt bei der Aufgabe sollte die Definiton von $\mathcal{E},\mathcal{L}$ sein. Für 2),3) habt Ihr diese anscheinend in der Vorlesung gemacht. Nach dieser Vorlage kannst Du dann $\mathcal{E},\mathcal{L}$ für 1) definieren.

Naja, es wäre $\varepsilon = \mathbb{R}^2$ und $\mathcal{L} =  G = \{ \lambda \cdot (a,b) + (c,d)\; \vert \; a,b,c,d, \lambda \in \mathbb{R} \}$ (ich weiß, dass die Menge noch falsch geschrieben ist  cool )

Dann muss man zeigen, dass unser Tupel $(\mathbb{R}^{2}, G )$ eine Inzidenzgeometrie ist.

kurze Frage am Rande: Was meint man eigentlich genau mit $\epsilon$ und $\mathcal{L}$

Ist $\epsilon$  irgendeine schwammige Menge, oder hat sie etwas mehr Struktur? Also ist damit eigentlich immer $\mathbb{K}^{n}$ oder auch was anderes?

Und was wäre $\mathcal{L}$? Irgendein Unterraum von $\epsilon$? In der VL wurde das vielleicht erwähnt (erinnere mich leider nicht) und im Skript steht das  nirgends.


Vielen Dank für dein Feedback.



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-20


Soweit ich Deine Definiton verstehe, ist $\mathcal{E}$ die Menge der Punkte und $\mathcal{L}$ die Menge der Geraden. Die kleinste Geometrie, die ich gefunden habe besteht aus $\mathcal{E} = \{A,B,C\}$ und $\mathcal{L} = \{\{A,B\},\{A,C\},\{B,C\}\}$, wobei es hier dann keine wirkliche geometrische Vorstellung mehr gibt. Grundsätzlich würde ich annehmen, dass $\mathcal{L}\subset\mathcal{P}(\mathcal{E})$ realisiert werden kann - dieses gilt auf jeden Fall in den 3 Teilaufgaben. $\mathcal{P}(\cdot)$ bezeichnet die Potenzmenge.

In diesem Sinne ist
$\mathcal{L} =  G = \{ \lambda \cdot (a,b) + (c,d)\; \vert \; a,b,c,d, \lambda \in \mathbb{R} \}$
auch nicht richtig, da Du nur $\mathcal{L}\subset \mathcal{E}$ hast.

Naja, zwei Geraden $G_{a,b,c,d}$ und $G_{r,s,t,u}$ sind gleich, wenn ihre  Mengen gleich sind.
...
Das ist der richtige Weg, um zu $\mathcal{L}$ zu gelangen. Insbesondere darf der Richtungsvektor nicht null sein.



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