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Integration » Integration im IR^n » Integral einer Funktion über Kegeloberfläche
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Universität/Hochschule J Integral einer Funktion über Kegeloberfläche
Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-20


Guten Abend,

Ich soll das Integral der Funktion $f(x,y,z)=x^2+z$ über eine Kegeloberfläche berechnen. Die Spitze liegt in $(0,0,h)$ und der Mittelpunkt in der x-y Ebene bei (0,0).

Ich habe hier mit der Parametrisierung ein Problem. Irgendwie muss ja der Strahlensatz dabei helfen. Heißt, für die x Komponente in Zylinderkoordinaten sowas wie $(r cos(\varphi)) =(R \cdot \frac{z}{h} cos(\varphi))$ oder so? Das sieht falsch aus.

Hoffe mir kann jemand einen Tipp geben.

Lg



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fjkd787
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 19.04.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-20


Teile die Oberfläche in zwei Teile auf, Boden- und Mantelfläche.

Deine Idee für die x-Koordinate ist schon ganz gut. Allerdings ist jetzt der Radius bei z=0 auch Null, aber die Spitze soll ja bei z=h liegen, also sollte dort r=0 sein. Der Strahlensatz ist da auf jeden Fall ein Weg zur Lösung.

Gruß



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 598
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-20

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Euler_eleluler,

die Breite eines Kegels hängt ja linear von der Höhe ab, du musst also nur linear interpolieren. Bei $z=0$ soll $x(z,\varphi)=R\cos\varphi$ sein, und bei $z=h$ soll $x(z,\varphi)=0$ sein.
Multipliziere dafür einfach $R\cos\varphi$ noch mit einer linearen Funktion $f(z)=az+b$, für die $f(0)=1$ und $f(h)=0$ ist. Dann ist $x=f(z)R\cos\varphi$ deine gesuchte Parametrisierung.

Deine ist übrigens nah dran, nur genau falschrum: Du hast $f(0)=\frac{0}{h}=0$ und $f(h)=\frac{h}{h}=1$.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


Hallo, danke für eure Antworten.

Nach längerem Überlegen (und Ablenkung durch andere Aufgbaben..) bin ich auf nichts sinnvolles gekommen. Ich dachte irgendwie an sowas wie $f(z)=R-R \frac{z}{h}$, aber das sieht irgendwie ungewohnt aus und ergibt auch nicht das gewünscht $f(z=0)=1$... sorry, bin echt bisschen hilflos.
Mit Geometrie-Veranschaulichungen zu arbeiten bin ich etwas träge..


Wie man im Endeffekt das ganze Oberflächenintegral auswertet weiß ich, nur haperts wie so oft bei den Anfängen.

Lg, und gute Nacht wink

edit: tex



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fjkd787
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-21


Die Funktion für den Radius stimmt. Für z=0 ist jetzt r=R, für z=h ist r=0. Jetzt noch Zylinderkoordinaten verwenden, alles zusammenfügen und schon ist deine Mantelfläche parametrisiert. Den Boden schaffst du dann bestimmt auch!

Gruß



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Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


Super, das freut mich. Zusammengesetzt heißt es dann einfach:



$\vec{K_M} = \left(\begin{array}{c}R-R \frac{z}{h} cos (\varphi)\\R-R \frac{z}{h} sin (\varphi)\\h\end{array}\right)$

Für den Boden $\vec{K_B}\left(\begin{array}{c}cos (\varphi)\\sin (\varphi)\\0\end{array}\right)$ Passt das so?

Lg



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fjkd787
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-21


Fast. Eine kleine Korrektur:

\[\vec{K_M} = \left(\begin{array}{c}(R-R \frac{z}{h})cos (\varphi)\\(R-R \frac{z}{h})sin (\varphi)\\z\end{array}\right)\]
wobei \(z \in [0,h]\).
Bei dir hat der Boden konstant den Radius 1. Allerdings möchtest du alle Punkte einer Kreisscheibe mit Radius R beschreiben. Du brauchst also einen variablen Radius.

Nur für den Fall: Flächenelement nicht vergessen.

Gruß



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Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


Ah natürlich, oh gott. Naja, ich danke dir vielmals für die Hilfe!

Schönen Abend.


Edit: Eine Frage hat sich doch noch aufgeworfen. Wenn ich nun das Oberflächenintegral berechnen möchte, muss ich ja die Parametrisierung nach 2 Variablen ableiten und daraus das Kreuzprodukt bilden. Doch welche von den 3 lasse ich hier "konstant" Den Winkel? Heißt ich habe ein Integral mit $dr$ und $dz$?

Und dazu, muss ich wenn ich beim Boden das O-Integral mache, und das Oberflächenelement aus der nach $\varphi$ und $R$ abgeleiteten Parametrisierung bestimme, kommt da noch ein $R$ aus der Jakobimatrix dazu?

Lg



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fjkd787
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-07-21


Versuch dir das selber zu überlegen.

Fangen wir bei der Mantelfäche an: macht es da Sinn, den Radius variabel zu machen?
Du möchtest alle Punkte auf der Mantelfläche beschreiben, nicht mehr, nicht weniger.

Gruß



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Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


Macht wenig Sinn den zu variieren, ich hab den Radius ja in der Funktion der Höhe mit drin. Dann also R konstant lassen.



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fjkd787
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-07-21


Ganz genau. Wie sieht deine Parametrisierung also mit Definitionsbereich für den Mantel aus?
Damit kannst du dann ein Flächenelement des Mantels bestimmen und die Funktion schonmal über den Mantel integrieren.

Widmen wir uns der Bodenfläche. Wieder die Frage, was sollte hier variabel, was konstant sein?

Gruß



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Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


Für den Mantel gilt also $\varphi \in [0,2\pi]$ und $z \in [0,(R-R \frac{z}{h}]$?

Für den Boden lasse ich $z$ konstant, habe also $\varphi \in [0,2\pi]$ und $R \in [0,r]$

Schaut das richtig aus?



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fjkd787
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-07-21


2019-07-21 23:18 - Euler_eleluler in Beitrag No. 11 schreibt:
Für den Mantel gilt also $\varphi \in [0,2\pi]$ und $z \in [0,(R-R \frac{z}{h}]$?

Leider stimmt das nicht ganz. Es gilt \(z\in[0,h]\). Du gehst die z-Achse "hoch" und beschreibst in Abhängigkeit davon deinen Radius.


Für den Boden lasse ich $z$ konstant, habe also $\varphi \in [0,2\pi]$ und $R \in [0,r]$

Schaut das richtig aus?

Das sieht gut aus. Eigentlich schreibt man konventionell \(r\in [0,R]\), aber das sei natürlich dir überlassen.

Gruß



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Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


Hm, das verstehe ich nicht ganz. Also würde ich mein $z$ gar nicht von 0 bis $R-R \frac{z}{h}$ integrieren?



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fjkd787
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-07-21


Nein. Allg. Zylinderkoordinaten für einen Zylinder mit Radius R und Höhe h sehen wie folgt aus


\[
\vec{r} = \left(\begin{array}{c}rcos (\varphi)\\rsin (\varphi)\\z\end{array}\right)\]
wobei $z \in [0,h]$, $\varphi \in [0,2\pi]$ und $r \in [0,R]$.
Nun möchtest du damit eine Kegeloberfläche beschreiben. Wie du richtig erkannt hast, ist der Radius eine Funktion von z, oder anders: Die z-Komponente ist eine Funtkion des Radius r. Du hast dich ja für erstere Variante entschieden. Damit ist

\[
r(z) = R(1-\frac{z}{h}).
\]
Jedem $z \in [0,h]$ wird jetzt also eindeutig ein bestimmter Radius $r(z) = R(1-\frac{z}{h})$ zugeordnet. Damit lautet deine Parametrisierung für den Mantel

\[
\vec{r} = \left(\begin{array}{c}R(1-\frac{z}{h})cos (\varphi)\\R(1-\frac{z}{h})sin (\varphi)\\z\end{array}\right)
\] mit $z \in [0,h]$ und $\varphi \in [0,2\pi]$.




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Euler_eleluler
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-22


Okay, vielen Dank. Das hat nochmal Klarheit geschaffen.

Dann danke ich dir für deine Geduld, und hoffe sowas (falls es morgen rankommt) zu meistern  razz

Lg



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