Die Mathe-Redaktion - 23.08.2019 11:41 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Sept.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 470 Gäste und 22 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Repräsentation gemischter Zustände durch Korrelationstensoren
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Repräsentation gemischter Zustände durch Korrelationstensoren
Concrete_Jungle
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 09.10.2012
Mitteilungen: 133
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-21


Hallo liebe Matroid*innen

Jeder \(n\)-Quibit Zustand kann in der Form

\[\rho=\frac{1}{2^{n}} \sum_{\mu_{1}, \ldots, \mu_{n}=0,1,2,3} T_{\mu_{1}, \ldots, \mu_{n}} \sigma_{\mu_{1}} \otimes \ldots \otimes \sigma_{\mu_{n}}\] dargestellt werden, wobei \(\sigma_{\mu_{k}} \in\left\{\mathbb{1}, \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}\right\}\) die Pauli Matrizen des \(n\)-ten Beobachters sind. Die Koeffizienten \(T_{\mu_{1}, \ldots, \mu_{n}}\) sind reelle Zahlen in \([-1,1]\) und werden durch die Werte der Korrelationsfunktion für Messungen von Produkten von Pauli Operatoren bestimmt:
\[T_{\mu_{1}, \ldots, \mu_{n}}=\left\langle\sigma_{\mu_{1}} \otimes \ldots \otimes \sigma_{\mu_{n}}\right\rangle_{\rho}=\operatorname{Tr}\left(\rho \sigma_{\mu_{1}} \otimes \ldots \otimes \sigma_{\mu_{n}}\right)\] Wir nennen \(\hat{T} \equiv \sum_{i_{1}, \ldots, i_{n}=1}^{3} T_{i_{1}, \ldots, i_{n}} e^{i_{1}} \otimes \ldots \otimes e^{i_{n}}\) den Korrelationstensor, wobei \(\left\{e^{i_{m}}\right\}_{i_{m}=1}^{3}\) eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) ist.

Ich habe etwas Probleme zu verstehen, wie ich die Definition der Komponenten des Korrelationstensors verstehen soll.

Die Spur ist ein Skalar, \(\operatorname{Tr}\left(\rho \sigma_{\mu_{1}} \otimes \ldots \otimes \sigma_{\mu_{n}}\right)\) ist also eine Zahl. Die Indizes \(\mu_1\) bis \(\mu_n\) wurden alle "verwendet" um diese Spur zu bekommen. Wieso also werden dadurch alle Koeffizienten \(T_{\mu_{1}}, \ldots, \mu_{n}\) generiert, anstatt nur einer einzigen Zahl?

Danke!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
index_razor
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 06.03.2016
Mitteilungen: 166
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-21


Es wird für jede Komponente eine Spur berechnet. Also z.B.

\( T_{123\cdots} = \langle \sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_3\otimes\cdots\rangle_\rho\)

\( T_{231\cdots} = \langle \sigma_2\otimes\sigma_3\otimes\sigma_1\otimes\cdots\rangle_\rho\)

usw.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Concrete_Jungle
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 09.10.2012
Mitteilungen: 133
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


Ahhh,danke.

Die Notation war für mich aus irgend einem Grund verwirrend.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Concrete_Jungle
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 09.10.2012
Mitteilungen: 133
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-04 15:13


Ok, es scheint als hätte ich den Ausdruck immer noch nicht verstanden.

Betrachten wir als simples Beispiel den \(|\Phi^+>\) Bellzustand:

\[ |\Phi^+>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|00>+|11> \right) \] \[ \rho=|\Phi^+><\Phi^+|=\frac{1}{2} \Big( |00><00|+|00><11|+|11><00|+|11><11| \Big)  \]
Wie finde ich dann die Elemente \(T_{\mu_{1}, \ldots, \mu_{n}}\)?

In diesem Fall ist \(n=2\). Das bedeutet, dass der Tensor \(\mathcal{T}\in \mathbb{R}^2\) ist, oder?

Welche Pauli Matrizen bilden dann aber meine Basis? Wenn ich z.B. Element \(T_{00}\) berechne, ist das dann gegeben durch
\[T_{00}=\text{Tr}(\rho \;\; \sigma_0 \otimes \sigma_0)\] und Element \(T_{01}\) dazu analog durch
\[T_{01}=\text{Tr}(\rho \;\; \sigma_0 \otimes \sigma_1)?\]
Danke!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
M4r71n
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2019
Mitteilungen: 6
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-15 11:43


2019-08-04 15:13 - Concrete_Jungle in Beitrag No. 3 schreibt:

Welche Pauli Matrizen bilden dann aber meine Basis? Wenn ich z.B. Element \(T_{00}\) berechne, ist das dann gegeben durch
\[T_{00}=\text{Tr}(\rho \;\; \sigma_0 \otimes \sigma_0)\] und Element \(T_{01}\) dazu analog durch
\[T_{01}=\text{Tr}(\rho \;\; \sigma_0 \otimes \sigma_1)?\]

Genau. Das ist der richtige Weg zur Berechnung.

2019-08-04 15:13 - Concrete_Jungle in Beitrag No. 3 schreibt:
In diesem Fall ist \(n=2\). Das bedeutet, dass der Tensor \(\mathcal{T}\in \mathbb{R}^2\) ist, oder?

Nein, aus dem was du oben geschrieben hast geht hervor, dass T kein 2d Vektor ist, sondern eine 2x4 Matrix, da jeder index die Werte 0-3 annehemen kann.

Ich verstehe das am besten so: die Pauli Matrizen und die Identitaet bilden zusammen eine Basis fuer den Raum der 2x2 Matrizen also eine Basis fuer Dichte-Matizen eines 1-Teilchen 2-Zustands Systems. Auf diesem Raum ist \(\frac{1}{2}\mathrm{Tr}(AB)\) ein Skalarprodukt und die Pauli Matrizen und die Identitaet bilden diesbezueglich eine Orthonormal Basis. D.h. jede 1-Teilchen Dichte-Matrix kann durch Linearkombination dieser erzeugt werden. Die Koeffizienten sind durch das Skalarprodukt ueber die Spur gegeben. Nun moechte man kein 1-Teilchen System sondern ein 2-Teilchen System beschreiben, weshalb man das direkte Produkt verwendet. Die Eigenschaften der Spur als Skalarprodukt und der direkten Produkte aus Pauli Matrizen als orthonormal Basis bleiben dabei erhalten. Diese ONB ist dann gegeben durch \(\lbrace\sigma_\mu\otimes\sigma_\nu\,\,|\mu ,\nu=0...3\rbrace\).



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]