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Mathematik » Stochastik und Statistik » Erwartungswert und Normalverteilung
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Universität/Hochschule Erwartungswert und Normalverteilung
kingdingeling
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-21


Sei $X\sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$. Wie zeige ich dass $X\in L^p(\mathbb{P})$ für alle $p\in[1,\infty)$? Muss ich hier die Markov-Ungleichung verwenden?



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 598
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-21

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Hallo kingdingeling,

mein Absatz ohne besonders tief in der Statistik drinzustecken: Du kannst das Integral $\int \vert P(x)\vert^p\d x$ direkt ausrechnen, indem du $(\e^{x^2})^p=\e^{px^2}$ nutzt. Für $p=\infty$ kannst du die Beschränktheit nutzen (ich nehme an, du meintest $p\in(0,\infty]$).

Viele Grüße,
Vercassivelaunos

\(\endgroup\)


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kingdingeling
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


Hey Vercassivelaunos,

leider kann ich überhaupt nicht nachvollziehen was du meinst, bin wohl zu doof dafür. Könntest du das vielleicht genauer erklären?

LG, KingDingeling



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-21

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Ich glaube, was ich geschrieben habe, war quatsch. Ich habe daran gedacht, die $L^p$-Norm der Dichtefunktion zu bestimmen. Es muss aber die $L^p$-Norm der Zufallsvariable sein. Das sind aber unterschiedliche Dinge. Tut mir Leid für die Verwirrung.
\(\endgroup\)


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AnnaKath
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Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-21


Huhu Kingdingeling,

Vercassivelaunos' Hinweis wird sich noch als durchaus hilfreich herausstellen. Aber vielleicht beginnen wir einen Schritt weiter vorne.

Ist Dir klar, dass $X\in L^p(\mathbb{P})$ für die reellwertige Zufallsvariable $X$ und $p\in[1,\infty)$ gerade bedeutet, dass $\mathbb{E} |X|^p < \infty$ gilt? Da Du nun die Verteilung von $X$ kennst, und $\mathbb{P} \circ X^{-1}$ absolutstetig bzgl. des Lebesgue-Maßes ist und Du somit mit der bekannten Dichte operieren kannst, beschränkt sich der Nachweis auf die Berechnung eines Integrals.

Vielleicht noch als Hinweis: Der Fall $p=\infty$ ist ein wenig anders zu behandeln.

lg, AK.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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