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Lineare Algebra » Lineare Unabhängigkeit » Beweis e^z_1t, ..., e^z_nt linear unabhängig über C?
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Autor
Universität/Hochschule J Beweis e^z_1t, ..., e^z_nt linear unabhängig über C?
IVmath
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 29.07.2016
Mitteilungen: 315
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-22


Hallo,

ist mein folgender Beweis
1.) sprachlich korrekt,
2.) mathematisch korrekt,
3.) vollständig?

(Ich bin kein Mathematiker und kein Student.)

Es geht um den Beweis des Lemmas aus der Antwort unter MathStackExchange: Algebraic independence of functions. Mit dem Unterschied, dass das Lemma dort nur für reelle Zahlen formuliert ist, ich aber komplexe Zahlen behandle.

Lemma:
Seien $z_1,...,z_n$ verschiedene komplexe Zahlen. Dann sind $e^{z_1t},...,e^{z_nt}$ linear unabhängig über $\mathbb{C}$.        

Beweis:
Beweis durch vollständige Induktion für $n$ und Widerspruch
$c_1,...,c_n\in\mathbb{C}$
Induktionsanfang: $n=1$: $c_1e^{z_1t}=0\curvearrowright c_1=0\curvearrowright e^{z_1t}$ ist linear unabhängig über $\mathbb{C}$
Wenn es eine lineare Abhängigkeitsrelation zwischen $e^{z_1t},...,e^{z_nt}$ gibt, dann ergibt sich durch Differenzieren dieser Relation bezüglich $t$ eine weitere lineare Abhängigkeitsrelation zwischen $e^{z_1t},...,e^{z_nt}$. Durch geeignete lineare Kombination dieser beiden Gleichungen ergibt sich eine lineare Abhängigkeitsrelation zwischen $n-1$ der Funktionen $e^{z_1t},...,e^{z_nt}$. Durch insgesamt ($n-1$)-maliges Durchführen dieses Induktionsschritts ergibt sich der Fall $n=1$. Für $n=1$ existiert jedoch keine lineare Abhängigkeitsrelation für $e^{z_1t}$, da ja am Induktionsanfang festgestellt worden war, dass $e^{z_1t}$ linear unabhängig über $\mathbb{C}$ ist. Dies steht im Widerspruch zu der Annahme, dass $e^{z_1t}$ linear abhängig über $\mathbb{C}$ ist. Damit konnen $e^{z_1t},...,e^{z_nt}$ nicht linear abhängig über $\mathbb{C}$ sein, sie müssen also linear unabhängig über $\mathbb{C}$ sein, womit die Induktionsbehauptung bewiesen ist.

4.) Muss auch noch gezeigt werden, dass sich durch die Differentiation wieder lineare Abhängigkeitsrelationen ergeben?

5.) Gilt ein analoger Satz für $e^{z_1},...,e^{z_n}$?

6.) Kann dafür der analoge Beweis zu oben für $e^{z_i}=e^{v_it}$ für alle $i$ mit $1\leq i\leq n$ ($v_1,...,v_n$ voneinander verschiedene komplexe Zahlen) verwendet werden?

Vielen, vielen Dank.



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lula
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Aus: Sankt Augustin NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-22


Hallo
 bei einem Vektor bzw. einer Funktion von linearer Abhängigkeit zu reden ist nicht sinnvoll. also ist dein Induktionsanfang falsch. du musst mit mindestens 2 Funktionen anfangen.

2. e^z_i ist doch eine Zahl in C, davon von Lin. Unabhängigkeit zu reden ist doch nicht sinnvoll?
oder was meinst du mit z_i?
Gruß lula





-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-22


2019-07-22 19:31 - lula in Beitrag No. 1 schreibt:
bei einem Vektor bzw. einer Funktion von linearer Abhängigkeit zu reden ist nicht sinnvoll. Also ist dein Induktionsanfang falsch. Du musst mit mindestens 2 Funktionen anfangen.
Gut, danke.
Was ist denn dann in MathStackExchange gemeint mit "Induction on  
k. Clear with $k=1$."?
Ich hatte die Definition der Algebraischen (Un)abhängigkeit im Sinn: (Wikipedia: Algebraische Unabhängigkeit - Definition). Die ist auch für ein einzelnes Element definiert.
Könnt Ihr diesen Widerspruch bitte auflösen?

2019-07-22 19:31 - lula in Beitrag No. 1 schreibt:
e^z_i ist doch eine Zahl in C, davon von Lin. Unabhängigkeit zu reden ist doch nicht sinnvoll? Oder was meinst du mit z_i?
Ich meine damit:
6.) Kann dafür der analoge Beweis zu oben für $e^{z_1}=e^{v_1t},...,e^{z_n}=e^{v_nt}$ ($v_1,...,v_n$ voneinander verschiedene komplexe Zahlen) verwendet werden?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-22

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

der Induktionsanfang mit $n=1$ ist in Ordnung. Da hat sich lula nur vertan.

Der Beweis der linearen Unahbhängigkeit im Themenstart ist bisher eigentlich nur eine Beweisskizze. Insbesondere den Induktionsschritt solltest du schon noch etwas genauer ausarbeiten. Insofern ist auch deine Frage 4 beantwortet.
\(\endgroup\)


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ligning
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-07-23


Ich denke du solltest an deinem Verständnis von Induktion arbeiten. Man begründet nichts damit, den Induktionsschritt n-1-mal durchzuführen. Du musst im Induktionsschritt daraus, dass die Aussage für n-1 gilt, schließen, dass sie auch für n gilt. Das geht hier so, dass du eine Linearkombination $\sum_{i=1}^n a_i e^{z_t t} = 0$ aufstellst, daraus durch Ableiten usw. eine Linearkombination von n-1 Funktionen herstellst: $\sum_{i=1}^{n-1} b_i e^{z_i t} = 0$, dann mit der IV schließt, dass die $b_i = 0$ sind, woraus folgt, dass auch die $a_i = 0$ sind.

5) Nein, der Satz ist zwar schon sinnvoll, gilt aber nicht für $n>1$. Das ist klar, weil ein Körper stets ein 1-dimensionaler Vektorraum über sich selbst ist, aber du kannst dir auch elementar klarmachen, dass $e^{z_2}e^{z_1} - e^{z_1}e^{z_2} = 0$ eine nichttriviale Linearkombination der Null ist.



-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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IVmath
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Dabei seit: 29.07.2016
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-23


2019-07-23 08:49 - ligning in Beitrag No. 4 schreibt:
5) Nein, der Satz ist zwar schon sinnvoll, gilt aber nicht für $n\geq 1$. Das ist klar, weil ein Körper stets ein 1-dimensionaler Vektorraum über sich selbst ist, aber du kannst dir auch elementar klarmachen, dass $e^{z_2}e^{z_1} - e^{z_1}e^{z_2} = 0$ eine nichttriviale Linearkombination der Null ist.
Verstehe ich das richtig? Für $n$ verschiedene komplexe Zahlen $z_1,...,z_n$ sind $e^{z_1t},...,e^{z_nt}$ linear unabhängig über $\mathbb{C}$, $e^{z_1},...,e^{z_n}$ für $n\geq 1$, also für alle $n>0$, im allgemeinen aber nicht?



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ligning
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-23


Nein, sorry, ich hab mich vertippt. Letzteres gilt nicht für $n>1$. Für $n=1$ schon.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-23


Verstehe ich das richtig? Für $n$ verschiedene komplexe Zahlen $z_1,...,z_n$ sind $e^{z_1t},...,e^{z_nt}$ linear unabhängig über $\mathbb{C}$, $e^{z_1},...,e^{z_n}$ für $n>1$ im allgemeinen aber nicht?



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-07-23


Ja, allerdings sind n>1 komplexe Zahlen nie linear unabhängig über $\IC$. Das ist wirklich kein Hexenwerk und nicht der Zeit und des ganzen Hin und Hers würdig, das hier gerade stattfindet.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-23


2019-07-23 14:11 - ligning in Beitrag No. 8 schreibt:
Ja, allerdings sind n>1 komplexe Zahlen nie linear unabhängig über $\IC$. Das ist wirklich kein Hexenwerk und nicht der Zeit und des ganzen Hin und Hers würdig, das hier gerade stattfindet.
(Wie gesagt: Ich bin kein Mathematiker und kein Student. Der mathematische Teil Deiner Antwort hilft mir sehr.)

(Ah ja, es geht ja um die lineare Unabhängigkeit *über $\mathbb{C}$*. Meine anfängliche Vermutung, dass $e^{z_1t},...,e^{z_nt}$ linear unabhängig über $\mathbb{C}$ sind, $e^{z_1},...,e^{z_n}$ aber, weil sie selber komplexe Zahlen sind, in der Regel nicht, hat sich also bestätigt.)



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