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Lineare Algebra » Angewandte Lineare Algebra » Eindeutigkeit der kanonischen Generatormatrix
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Universität/Hochschule Eindeutigkeit der kanonischen Generatormatrix
AnaLina2112
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 23.07.2019
Mitteilungen: 1
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-23


Hey :) vielleicht könnt ihr mir ja helfen. Es geht um folgenden Satz, den ich beweisen soll: Ein linearer Code besitzt höchstens eine kanonische Generatormatrix.

Meine Überlegungen bisher:

Ein linearer Code ist ein Untervektorraum mit Dimension k. Eine Generatormatrix ist eine Matrix, welche in k-vielen Zeilen linear unabhängige Vektoren (Codewörter) enthält. Diese Matrix ist sozusagen die Basis unseres Codes und muss nicht eindeutig sein.
Eine linearer Code besitzt eine kanonische Generatormatrix, wenn er in den ersten k-vielen Stellen systematisch ist. Diese Matrix besteht dann aus der k x k - Einheitsmatrix ergänzt durch eine beliebige Matrix A, sodass ich also k Zeilen mit linear unabhängigen Codewörtern habe, von denen die ersten k Bits des Codeworts der jeweiligen Zeile der Einheitsmatrix entsprechen.

Kann mir vielleicht jemand einen Ansatz geben? Wie kann ich daraus schließen, dass es höchstens eine kanonische Generatormatrix gibt? Zeige ich das durch einen Widerspruchsbeweis oder reichen meine Überlegen bereits aus, um den Satz zu beweisen?

Vielen Dank schon mal im voaus :)



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jjzun
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.07.2019
Mitteilungen: 10
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-23


Hallo,
ich hatte das Thema zwar auch, aber wir müssen nichts beweisen, von daher kann ich dir inhaltlich leider nicht weiterhelfen.

Mein Ansatz wäre ein Widerspruchsbeweis. Warum? Weil die meisten Eindeutigkeitsbeweise so funktionieren, dass man annimmt es gäbe ein 2. Element und das zum Widerspruch führt.

Wenn es also so wäre das es keine Standard-Generatormatrix gäbe, wären sie dann ähnlich zueinander,oder soetwas in der Art, eine Eigenschaft also, die sie "verbinden" würde?
(Ich weiss nicht genau, ob man sowas aussagen darf.)

Weil wenn ja, dann ist das ein Widerspruch, weil die Einheitsmatrix nur ähnlich zu sich selber ist.

Das wäre mein Ansatz, aber kenne mich wiegesagt nicht aus...

Viele Grüße,

jjzun



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