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Mathematik » Topologie » Ist O offen, wenn X\O abgeschlossen?
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Universität/Hochschule Ist O offen, wenn X\O abgeschlossen?
dome1504
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.12.2018
Mitteilungen: 49
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-26


Hallo,

im Rahmen der Definition eines topologischen Raums wird ja definiert, dass das Komplement einer offenen Menge abgeschlossen heißen soll. Also gilt, wenn X die Grundmenge und O eine offene Menge ist:

O offen -> X\O abgeschlossen

Ist die Rückrichtung auch bereits in der Definition erhalten oder lässt die sich basierend auf der obigen Definition herleiten?

Liebe Grüße
Jan



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darkhelmet
Senior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2651
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-26


Hi,

wenn man es genau nimmt, ist sie nicht in der Definition enthalten, sondern lässt sich sehr sehr einfach herleiten.



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2223
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-26


Hallo,

was genau meinst du mit Rückrichtung?

Dass wenn du eine abgeschlossene Menge $A$ hast, das Komplement offen ist?
Das ist korrekt.

Man kann topologische Räume auch über abgeschlossene Mengen erklären.
Dann muss man die Kriterien für einen topologischen Raum etwas anpassen, was Vereinigung und Schnitt angeht (im Prinzip 'austauschen').

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Orthonom
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 553
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-26


Hallo dome1504,

Wenn man eine Topologie über offene Mengen definiert,
wie es meist gemacht wird, dann sagt man eine Menge
ist abgeschlossen, wenn sie das Komplement einer offenen
Menge ist.

Also:

Wenn O offen ist, dann ist X\O abgeschlossen.

Deine Frage war wohl:
Sei U eine beliebige Menge.
Folgt aus X\U abgeschlossen, dass U offen ist?

Die Antwort ist "JA".
Denn wenn X\U abgeschlossen ist,
dann ist X\U das Komplement einer offenen Menge O.
Also gilt X\U=X\O und daraus folgt U=O. Also ist U offen.

Grüße,
Orthonom



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dome1504
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.12.2018
Mitteilungen: 49
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-27


Was ich versucht habe mit meiner Frage auszudrücken ist, wenn man sich nur die obige Definition nimmt, ob dann auch folgt, dass das Komplement einer abgeschlossenen Menge offen ist. Ginge das dann so?:
Sei A abgeschlossen. Dann muss A das Komplement einer offenen Menge sein, also A = X\O mit O offen. Dann gilt aber X\A = X\(X\O) = O und damit ist das Komplement einer abgeschlossenen Menge offen.

Liebe Grüße
Dome



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Orthonom
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 553
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-29


Hallo dome1504,

ich würde es genauso machen, wie Du es gemacht hast.

Gruß,
Orthonom



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