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Universität/Hochschule J Partielle Integration
WhiteScholesMerton
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-26


Hallo :)

ich hätte eine Frage zur folgenden Gleichung
$$
t+\frac{1}{1-\alpha}\int\limits_{t}^\infty (x-t)dF_X(x)=t+\frac{1}{1-\alpha}\int\limits_{t}^\infty (1-F_X(x))dx
$$
von der linken Gleichung müssten man mittels partieller Integration zur rechten Gleichung gelangen. Aus der Vorlesung weiß ich, dass unter bestimmten Voraussetzungen folgendes gilt:
$$
\int\limits_{a}^b f(x)dg(x)=f(x)g(x)|^b_a-\int\limits_{a}^b g(x)df(x)
$$
Die Voraussetzungen seien erfüllt. Destotrotz komme ich nicht auf die Lösung. Ich hab probiert die Regel für die linke Seite anzuwenden (den Faktor $\frac{1}{1-\alpha}$ und ersten Summand $t$ lasse ich erstmal außen vor):
$$
f(x)=x-t, \qquad g(x)=F(x)
$$
Dann müsste folgen:
$$
(x-t)F(x)|^\infty_t-\int\limits_{t}^\infty F(x)d(x-t)
$$
Hier komm ich nicht weiter, da wenn ich allein $\infty$ aus der Integrationsgrenze einsetze ich ja einen unendlichen Summand bekomme. Neben dieser Unklarheit irritiert mich auch das $d(x-t)$.

Vielleicht kann mir jemand hier weiterhelfen die Gleichheit zu erklären. Vielen Dank im Voraus.

Liebe Grüße
White



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1894
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-26

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

ich kann nicht garantieren, dass ich mich hier nicht irre. Vorbehaltlich eines Irrtums also würde ich sagen, dass das hier etwas anders läuft. Ich denke, es wird hier zum einen \(dF_X(x)=F'_X(x)dx\) verwendet und zum anderen die Tatsache, dass \(F_X\) eine Verteilungsfunktion (und somit \(\lim_{x\to\infty}F_X(x)=1\)) ist.

Wenn ich diese beiden Tatsachen verwende, komme ich damit auf die angegebene Form des Integrals.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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WhiteScholesMerton
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 3
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-26


Hallo Diophant,

danke für die Antwort. Habe vergessen explizit zu erwähnen, dass $F$ Verteilungsfunktion von $X$ ist. Damit gilt auch der Limes aus deinem Beitrag.
Wenn ich das aber so einsetze erhalte ich aber symbolisch:
$
\int\limits_{t}^\infty (x-t)dF_X(x)=\int\limits_{t}^\infty (x-t)F'_X(X)dx=[F(x)\cdot(x-t)]^\infty_{x=t}-\int\limits_{t}^\infty F_X(x)dx$
$
=[F(\infty)\cdot (\infty - t)]-\int\limits_{t}^\infty F_X(x)dx = (\infty - t)-\int\limits_{t}^\infty F_X(x)dx
$
Worin liegt da mein Verständnisproblem?

Liebe Grüße



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-26

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

man kann ja noch \(\displaystyle \lim_{x\searrow t}F(x)(x-t)=0\) sowie \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}F(x)(x-t)=\lim_{x\to \infty}x=\infty\) verwenden und dann wieder zu \(x|_t^\infty-\int_t^\infty{F_X(dx) dx}=\int_t^\infty{(1-F_X) dx}\) zusammenfassen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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