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Mathematik » Stochastik und Statistik » Maximum likelihood von X~Poi(lambda)
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Universität/Hochschule Maximum likelihood von X~Poi(lambda)
bambusbieber
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-27




a)
Fall das \( \exists x_n \neq 0 \)
Für den Schätzwert bekomme ich \( \frac{1}{n} * \sum_{i=1}^n = \hat\lambda\)
was also dem Arithmetischem Mittel entspricht.

Fall aus Aufgabe \( x_n = 0~\forall~~n~\in~N \)
\( LH(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^0}{0!}*e^{-\lambda} \)
\( LH(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{1}*e^{-\lambda} \)
\( log(LH(\lambda)) = log(\prod_{i=1}^n e^{-\lambda}) \)
\( log(LH(\lambda)) = \sum_{i=1}^n log(e^{-\lambda}) \)
\( log(LH(\lambda)) = \sum_{i=1}^n -\lambda \)
\( log(LH(\lambda))' = \sum_{i=1}^n -1 \)
\( log(LH(\lambda))' = -n \)

LGS lösen..
0 = -n

Was sagt mir das?



Um nachzuweisen dass mein \(\lambda\) tatsächlich ein maximum is würde ich es jetzt in die zweite ableitung einsetzen und hoffen das ein negativer wert heruskommt?
Einsetzen und quiotentenregel:
\(-1 * \frac{-\sum^n [x_i] + n}{\lambda^2}\) was  zwangsweise positiv ist..



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-27


Moin, fuer $x_1=\cdots=x_n=0$ ist die Likehoodfunktion nicht differenzierbar in der Stelle des Maximums ...
vg Luis



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bambusbieber
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-27


b) \(E[\frac{1}{n}* \sum^n x_i] =  \hat\lambda\)
\(E[\frac{1}{n}]* E[\sum^n x_i] =  \hat\lambda\)
\(\frac{1}{n}* \mu * n =  \hat\lambda\))
\(\mu  =  \hat\lambda \)

ist erwartunstreu und damit trivialer weise auch konsistent

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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bambusbieber
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-27


2019-07-27 16:07 - luis52 in Beitrag No. 1 schreibt:
Moin, fuer $x_1=\cdots=x_n=0$ ist die Likehoodfunktion nicht differenzierbar in der Stelle des Maximums ...
vg Luis

Sprich wir finden eine schätzung die auch erwartunstreu ist aber nur solange \(x_n \neq 0\) ?



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luis52
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2019-07-27 16:11 - bambusbieber in Beitrag No. 3 schreibt:
2019-07-27 16:07 - luis52 in Beitrag No. 1 schreibt:
Moin, fuer $x_1=\cdots=x_n=0$ ist die Likehoodfunktion nicht differenzierbar in der Stelle des Maximums ...
vg Luis

Sprich wir finden eine schätzung die auch erwartunstreu ist aber nur solange \(x_n \neq 0\) ?

Nein, der Schaetzer ist in jedem Fall $\hat \lambda=\sum_{i=1}^nX_i/n$ und somit e.t. Wieso sollte der Schaetzer *trivialerweise* konsistent sein?

vg Luis



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bambusbieber
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-28


"Ein Schätzer ist konsistent, wenn er für immer größere Stichproben
immer genauer wird."

ist der Schätzer das arithetische Mittel (e.t.) dann näher sich für eine größer werdende Stichprobe das empirische Mittel dem Theoretischen an -> Wird genauer...



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-07-29


2019-07-28 15:04 - bambusbieber in Beitrag No. 5 schreibt:
"Ein Schätzer ist konsistent, wenn er für immer größere Stichproben
immer genauer wird."

ist der Schätzer das arithetische Mittel (e.t.) dann näher sich für eine größer werdende Stichprobe das empirische Mittel dem Theoretischen an -> Wird genauer...
Naja, wenn das deinem Pruefer reicht ... *Mir* wuerde es nicht reichen.

vg Luis



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bambusbieber
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-29


Welcher Ansatz eines Konsistensnachweis würdear du denn empfehlen?



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luis52
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2019-07-29 10:39 - bambusbieber in Beitrag No. 7 schreibt:
Welcher Ansatz eines Konsistensnachweis würdear du denn empfehlen?


Zeige, dass der mittlere quadratische Fehler des Schaetzers gegen Null konvergiert. Oder, aequivalent, dass der Bias und die Varianz gegen Null konvergieren. Ersteres ist klar, da du bereits erkannt hast, dass das arithmetische Mittel erwartungstreu ist.

vg Luis



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