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Funktionentheorie » Holomorphie » Maximumprinzip
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Universität/Hochschule Maximumprinzip
nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-28


Hallo :)

Ich habe hier eine Aufgabe:

Sei G ein Gebiet in C und f1, f2 holomorph auf G mit |f1(z)|=1-|f2(z)| für alle z in G.
Zeige: f1 = const. auf G und f2 = const. auf G

Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Viele Grüße und vielen Dank schon mal,
nitram999



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-28


Hi, kannst du zeigen, dass beide Funktionen beschränkt sind?



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-29


Danke für deine Antwort! :)

Das heißt es geht dann über Liouville? ich dachte ursprünglich man muss die gegebene Gleichung umformen, sodass man sieht, dass es ein lokales Maximum gibt und dass daher |f1|+|f2| konstant ist. Dann hätten wir eine Übungsaufgabe, nach der dann auch f1= const. und f2= const. gilt.

Aber wie zeigt man das mit dem lokalen Maximum? Oder das mit der Beschränktheit?

Also klar ist, dass |f1(z)|+|f2(z)|=1 gilt und daher mit Dreiecksungleichung    |f1(z) + f2(z)| kleinergleich 1 ist. Aber wie gehts dann weiter?

Viele Grüße
nitram999



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-29


Durch die Dreicksungleichung verlierst du etwas. Betrachte $f_1(z)=z$ und $f_2(z)=1-z$

Kannst du stattdessen zeigen, dass $|f_1(z)|, |f_2(z)|\leq 1$ gilt?



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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-29


Gilt das nicht trivialerweise wegen |f1(z)|+|f2(z)|=1 ?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-29


Ja schon, aber wieso möchtest du dann die Dreiecksungleichung benutzen? Der Satz von Liouville besagt gerade, dass $f_1$ und $f_2$ konstant sind, wenn sie holomorph und beschränkt sind. Mit $|f1(z)|,|f2(z)|\leq 1$ wärst du also fertig.

2019-07-29 01:45 - nitram999 in Beitrag No. 2 schreibt:
Also klar ist, dass |f1(z)|+|f2(z)|=1 gilt und daher mit Dreiecksungleichung    |f1(z) + f2(z)| kleinergleich 1 ist. Aber wie gehts dann weiter?
Diese Überlegung hilft nicht weiter, da aus  $|f_1(z) + f_2(z)| \leq 1$ eben nicht folgt, dass $f_1$ und $f_2$ konstant sind.




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nitram999
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-29


Der Satz von Liouville gilt aber nur für ganze Funktionen und f1, f2 sind nach Voraussetzung nur auf G holomorph, nicht auf C.

Ich wollte irgendwie zeigen, dass es ein lokales Maximum gibt und dann das Maximumprinzip anwenden.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-07-29


Hm, dann kann ich dir nicht so richtig helfen.
Wenn $f_1$ nicht konstant wäre, so gibt es ein $z\in G$ mit $|f_1(z)|<1$. Weiter wäre $f_1(G)$ offen, das bedeutet, dass sogar $|f_1(z)|<1$ für alle $z\in G$ gilt.



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