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Analysis » Integration » Substitutionsregel verstehen
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Universität/Hochschule J Substitutionsregel verstehen
curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-07-30


Hallo,

es geht um folgende Aufgabe:

$F:\mathbb{R}\setminus\{0\}\longrightarrow \mathbb{R}, F(x):=\int\limits_{0}^{1} \ln \left(x^{2}+t^{2}\right) dt$.

Wir sollten die u.a. mittels Partieller Integration lösen. Das habe ich auch hinbekommen. (Man kommt dann auf: $F(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)-2+2 x \arctan \frac{1}{x}$)

Dann wollte ich die aber noch per Substitution lösen, weil ich das hier bei der Aufgabe irgendwie viel suggestiver fand (und das üben wollte), allerdings komme ich da auf etwas ganz anderes:

Ich setze $\varphi:(0,1)\longrightarrow \mathbb{R}, t\mapsto x^2+t^2$, dann ist $\varphi$ differenzierbar mit $\frac{\delta}{\delta t}(x^2+t^2)= 2t$.
Außerdem rechne ich $\varphi'(t)dt=du \Leftrightarrow 2tdt=du \Leftrightarrow dt=\frac{1}{2t}du$ und erhalte:

$\int\limits_{0}^{1} \ln \left(x^{2}+t^{2}\right) dt= \int\limits_{\varphi(0)}^{\varphi(1)}ln(u)\frac{1}{2t}du=\int\limits_{x^2}^{x^2+1}ln(u)\frac{1}{2t}du$.

Hierauf habe ich es dann mit Part. Int. versucht; dabei setze ich $g(u):=ln(u)$ und $f(u):=\frac{1}{2t}u$, also $f'(u)=\frac{1}{2t}$ und es folgt:

$\int\limits_{x^2}^{x^2+1}ln(u)\frac{1}{2t}du= \big[ln(u)\cdot \frac{u}{2t}\big]_{x^2}^{x^2+1} -\int\limits_{x^2}^{x^2+1}\frac{1}{u}\cdot \frac{u}{2t}du = ln(x^2+1)\cdot \frac{x^2+1}{2t}-ln(x^2)\cdot \frac{x^2}{2t}-\frac{1}{2t}\int\limits_{x^2}^{x^2+1}1du = \frac{1}{2t}\big(ln(x^2+1)(x^2+1)-ln(x^2)x^2 - (x^2+1-x^2)\big)= \frac{1}{2t}\big(ln(x^2+1)(x^2+1)-ln(x^2)x^2 -1 \big)$.

Wo ist/sind mein Fehler / die Fehler?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

du hast ja nicht komplett substituiert, da die Integrationsvariable \(t\) nach wie vor im Integral verbleibt. Bei deiner partiellen Integration ziehst du dann den Bruch \(1/2t\) als konstanten Faktor vor das Integral, das kann ja nicht gut gehen.  😄

Ich sehe keine Möglichkeit, wie man bei diesem Integral mittels Substitution weiterkommen könnte.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-30


Hm, ich dachte, das geht immer?

Woran erkenne ich denn, dass es mal nicht geht?

Ich dachte nämlich, gerade bei so verketteten Funktionen wie dieser bietet sich Substitution besonders an.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

es gibt ja dieses nette Sprüchlein:

Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst.  😄

Das hat aber schon seinen Hintergrund: man kann ja noch nichteinmal allgemein davon ausgehen, dass man für eine Riemann-integrierbare Funktion überhaupt eine Stammfunktion in geschlossener Darstellung finden kann. Geschweige denn kann man hier irgendwelche Standardalgorithmen erwarten, die einen garantiert zum Erfolg führen (der eben nicht garantiert ist).

Allgemein kann man Integrale der Form \(\int {u'(x)\cdot f(u) dx}\) mittels Substitution knacken. Was aber wieder nicht bedeutet, dass es nicht auch noch andere Fälle gibt, in denen das funktioniert.

Bei solchen Integralen mit dem Logarithmus mit rationalem Argument kann man andererseits schon stets die partielle Integration im Hinterkopf haben, da der Logarithmus dann im Integral durch richtige Zuordnung von \(u'\) und \(v\) ja verschwindet.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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curious_mind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-30


$\int {u'(x)\cdot f(u) dx}$, ok, das merke ich mir.

Dank Dir, Diophant!



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curious_mind hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
curious_mind hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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