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Mathematik » Numerik & Optimierung » Minima und Variationsungleichungen
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Universität/Hochschule J Minima und Variationsungleichungen
Shaqrament
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.06.2019
Mitteilungen: 24
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-01


Hallo zusammen,
ich bin über die folgende Aussage gestolpert, mit der ich tatsächlich noch etwas hadere: Es ist die konvexe Abbildung <math>f\in C^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})</math> gegeben und <math>X\subseteq\mathbb{R}^n</math> nichtleer, abgeschlossen und konvex. Angenommen, es gibt ein <math>y\in X</math> mit

<math>\nabla f(y)^T(x-y)\geq 0</math> für alle <math>x\in X</math>,


dann löst <math>y</math> das Minimierungsproblem <math>\displaystyle\min_{x\in X}f(x)</math> (wir nennen es einmal <math>(P)</math>). Ich kenne leider keinen Beweis und weiß um ehrlich zu sein nicht einmal, ob die Aussage wahr ist. Insbesondere bereitet mir der Fall <math>y\in\partial X</math> Kopfzerbrechen (, falls dieser überhaupt eintreten kann). Denn dann könnte man für die Optimalität von <math>y</math> für <math>(P)</math> nicht einmal mehr mit dem Gradienten argumentieren. Kann mir jemand aushelfen?

Viele Grüße



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doglover
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 20.02.2015
Mitteilungen: 320
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-01


Hallo Shaqrament,

im Evans 'Partial differential equations' Appendix B1 findet sich folgende Aussage (ohne Beweis):

Theorem: Sei $f\in C^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ konvex, dann gilt für jedes $y,x\in \mathbb{R}^n$:

$f(x)\geq f(y)+(Df)(y)\cdot (x-y)$.

Wenn $y$ also zusätzlich die Ungleichung $(Df)(y)\cdot (x-y)\geq 0$ erfüllt für jedes $x\in X$, so gilt insbesondere $f(x)\geq f(y)$ für alle $x \in X$.
Hier spielt es dann auch keine Rolle, ob $y$ ein Randpunkt ist oder nicht und $X$ darf nach obigem Argument sogar eine beliebige (nicht leere) Teilmenge des $\mathbb{R}^n$ sein.

Im Evans fällt noch das Stichwort "Supporting Hyperplanes" im Zusammenhang mit diesem Theorem.

Viele Grüße

doglover



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Carmageddon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.12.2009
Mitteilungen: 618
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-01


Hallo Shaqrament,


zunächst: Klar kann das Minimum auf dem Rand liegen. Beispiel: Minimiere <math>f(x) = x</math> auf <math>X = [-1,1]</math>.

Aber das spielt keine Rolle, da dein Gradient ja auch auf dem Rand definiert ist. Genauer gesagt ist deine Variationsungleichung sogar sehr anschaulich für solche "Randminima" geeignet.

Nehme zunächst mal an, dass dein Minimum <math>y</math> ein innerer Punkt von <math>X</math> ist, so reduziert sich die Variationsungleichung einfach zu <math>f"(y) = 0</math>. Jetzt sollte auch klar sein, warum für konvexe Probleme die Variationsungleichung nicht nur notwendig sondern auch hinreichend ist.

Im Allgemeinen weiß man natürlich nicht ob <math>y</math> ein innerer Punkt ist. Also betrachtet man einfach alle Richtungsableitungen in jede "sinnvolle" Richtung in <math>X</math>. Diese Richtungsableitung muss dann in einem Minimum größer sein als null - sonst wäre es kein Minimum.

Ich kenne deinen Hintergrund nicht, aber die genaue Definition von "sinnvolle" Richtung führt auf den Begriff des Tangentialkegels. Für eine konvexe Menge vereinfacht sich die Menge zu <math>T := \{x-y | \forall x \in X\}</math>. Dies sind alle Richtungen die "in die Menge X" zeigen.

Man hat nun das die Richtungsableitung für alle Vektoren <math>h \in T</math> größer gleich null sein muss. Man erhält als notwendige Bedingung also wieder die Variationsungleichung:

<math>f"(y; h) = \nabla f(y)^T h \geq 0 \forall h \in T</math>

Sollte <math>f</math> konvex sein, erhält man auch mit einem Widerspruchsbeweis recht schnell, dass die Bedingung auch hinreichend ist.

Viele Grüße

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


-----------------
Zitat: "Es gibt einen Beweis aus der Physik: Er ist kurz, er ist elegant... und falsch"



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Shaqrament
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.06.2019
Mitteilungen: 24
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-01


Grüß euch Gott,
danke Carmageddon und doglover für eure Hilfe. Ihr habt beide meine Frage, wenn auch auf verschiedene Weise, beantwortet. Tatsächlich bin ich kein Experte für die VU und habe kontinuierliche Optimierung noch nicht gehört, weshalb ich euch auch für die Buchempfehlung bzw. das weite Ausholen danke.

Viele Grüße



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Shaqrament hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Shaqrament hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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